Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

（2） 當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形？并給出證明。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)PA=5時(shí)，四邊形PMEN為菱形，理由見解析.

【解析】分析：(1)用三角形的中位線定理證明四邊形PMEN的兩組對邊分別平行；(2)由(1)得四邊形PMEN是平行四邊形，只需證PM＝PN，即PC＝PD，故要證△APD≌△BPC.

詳解：(1)∵M，E分別為PD，CD的中點(diǎn)，∴ME∥PC，

同理可證：ME∥PD，

∴四邊形PMEN為平行四邊形；

(2)當(dāng)PA＝5時(shí)，四邊形PMEN為菱形．

理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，

∵AP＝5，AB＝CD＝10，∴AP＝BP，

在△APD和△BPC中，

AP＝BP，∠A＝∠B，AD＝BC，

∴△APD≌△BPC(SAS)，∴PD＝PC，

∵M，N，E分別是PD，PC，CD的中點(diǎn)，

∴EN＝PM＝PD，PN＝EM＝PC，∴PM＝EM＝EN＝PN，

∴四邊形PMEN是菱形．