Question

如圖，已知，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E、F分別是線段DC和BC延長(zhǎng)線的點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)M，AF與CD交于點(diǎn)N，且∠BAD=2∠EAF．
（1）當(dāng)∠B=60°，如圖1，求證：CE•CF=AB²；
（2）當(dāng)∠B=90°，如圖2，則線段CE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系是

2AB²=CE•CF

；
（3）在（1）的條件下，若CM：CF=1：6，S 四邊形AMCN=9

3

，求tan∠F的值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC，由菱形的性質(zhì)可以得出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而就可以得出△ACE∽△FCA，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，連接AC，可以得出△ACE∽△FCA，就可以得出AC²=CF•CE，由勾股定理就可以求出2AB²=CE•CF；
（3）如圖1，作AG⊥BC于G，NH⊥CF與H，根據(jù)條件可以得出△ABM≌△ACN，△ACM≌△ADN，就可以得出S_{四邊形AMCN}=S_△ABC，就可以求出菱形的邊長(zhǎng)，設(shè)MC=a，F(xiàn)C=6a，由△AMF的面積-△CNF的面積=S_{四邊形AMCN}，就可以得出求出a值，進(jìn)而就可以求出GF的值而求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=60°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=60°，
∴∠BAM+∠CAM=60°，∠DAN+∠CAN=60°．
∵∠B=60°，
∴∠ACB=∠BAC=∠B，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC．
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠EAF=60°．
∴∠EAC+∠FAC=60°．
∵∠FAC+∠F=∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠F．
∵∠BCE=∠DCF，且∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴

AC

FC

=

CE

AC

，
∴AC²=CE•CF，
∴CE•CF=AB²；

（2）2AB²=CE•CF
如圖2，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=90°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠BAC=∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠BAM+∠CAM=45°，∠DAN+∠CAN=45°．
∵∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC²=AB²+BC²，
∴AC²=2AB²．
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠EAF=60°．
∴∠EAC+∠FAC=45°．
∵∠FAC+∠F=∠ACB=45°，
∴∠EAC=∠F．
∵∠BCE=∠DCF，且∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴

AC

FC

=

CE

AC

，
∴AC²=CE•CF，
∴2AB²=CE•CF；

（3）如圖1，作AG⊥BC于G，NH⊥CF與H，
∴∠AGB=∠NHC=90°．
∵∠B=∠NCH=60°，
∴∠BAG=∠CNH=30°，
∴BG=

1

2

AB，CH=

1

2

CN．
∴AG=

3

2

BG，NH=

3

2

CH．
∵∠BAM+∠CAM=60°，∠DAN+∠CAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，∠CAM=∠DAN．
在△ABM和△ACN中

∠BAM=∠CAN AB=AC ∠B=∠ACN

，
∴△ABM≌△ACN（ASA），
∴S_△ABM=S_△ACN．
∴S_{四邊形AMCN}=S_△ABC=9

3

，
∴

1

2

BC•AG=9

3

．
設(shè)AB=BC=a，
∴BG=

1

2

a，AG=

3

2

a．
∴

1

2

×

3

2

a×a=9

3

，
解得：a=6．
∴AG=3

3

，BG=3．
在△ACM和△ADN中

∠CAM=∠DAN AC=AD ∠ACM=∠D

，
∴△ACM≌△ADN（ASA）
∴MC=ND．
∵CM：CF=1：6，設(shè)CM=x，則CF=6x，CN=6-x，
∴CH=

6-x

2

，NH=

3 (6-x)

2

∴

1

2

×7x×3

3

-6x×

3 (6-x)

2

×

1

2

=9

3

，
解得：x₁=-3（舍去），x₂=2．
∴CF=12，
∴GF=15．
∴tan∠F=

3 3

15

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似和全等是關(guān)鍵．