【題目】(如圖①,將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上),使點B落在AD邊上的點 M處,點C落在點N處,MN與CD交于點P, 連接EP.
⑴如圖②,若M為AD邊的中點,①△AEM的周長=_________cm;②求證:EP=AE+DP;
⑵隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置(點M不與A、D重合),△PDM的周長是否發(fā)生變化?請說明理由.
【答案】(1)①6 ②見解析(2)△PDM的周長保持不變,理由見解析
【解析】
(1)①由折疊知BE=EM,AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM,根據(jù)邊長及中點易求周長;②取EP中點G,連接MG,再根據(jù)梯形中位線與三角形中位線解答即可;(2)不變化,可證△AEM∽△DMP,兩個三角形的周長比為AE:MD,設AM=x,根據(jù)勾股定理可以用x表示MD的長與△MAE的周長,再根據(jù)周長比等于相似比,即可求解.
(1)①由折疊可知,BE=BM,∠B=∠MEP=90°,
△AEM的周長= AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.
∵AB=4,M是AD中點,
∴△AEM的周長=6(cm)
②證明:取EP中點G,連接MG,在梯形AEPD中
∵M、G分別為AD、EP的中點
∴
由折疊,得∠EMP=∠B=90°
又G為EP的中點
∴MG=EP
∴EP="AE+DP"
(2)△PDM的周長保持不變
證明:設AM=xcm,則DM=(4-x)cm
Rt△EAM中,由
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE
∴
即
∴
∴△PDM的周長保持不變.
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點N,若sinE=,AK=,求CN的長.
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【題目】已知拋物線F:y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標原點O,且與x軸另一交點為(,0).
(1)求拋物線F的解析式;
(2)如圖1,直線l:yx+m(m>0)與拋物線F相交于點A(x1,y1)和點B(x2,y2)(點A在第二象限),求y2﹣y1的值(用含m的式子表示);
(3)在(2)中,若m,設點A′是點A關(guān)于原點O的對稱點,如圖2.
①判斷△AA′B的形狀,并說明理由;
②平面內(nèi)是否存在點P,使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(1,0),(0,).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)將拋物線y=﹣x2+bx+c平移,使其頂點恰好落在原點,請寫出一種平移的方法及平移后的函數(shù)表達式.
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【題目】“揚州漆器”名揚天下,某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒,成本為30元/件,每天銷售量(件)與銷售單價(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件,當銷售單價為多少元時,每天獲取的利潤最大,最大利潤是多少?
(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè),決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程,為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元,試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.
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【題目】(發(fā)現(xiàn)問題)愛好數(shù)學的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目:
如圖①,點O為坐標原點,⊙O的半徑為1,點A(2,0).動點B在⊙O上,連結(jié)AB,作等邊△ABC(A,B,C為順時針順序),求OC的最大值
(解決問題)小明經(jīng)過多次的嘗試與探索,終于得到解題思路:在圖①中,連接OB,以OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.
(1)請你找出圖中與OC相等的線段,并說明理由;
(2)求線段OC的最大值.
(靈活運用)
(3)如圖②,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.
(遷移拓展)
(4)如圖③,BC=4,點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點,以BD為邊作等邊△ABD,請直接寫出AC的最值.
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【題目】動畫片《小豬佩奇》分靡全球,受到孩子們的喜愛.現(xiàn)有4張《小豬佩奇》角色卡片,分別是A佩奇,B喬治,C佩奇媽媽,D佩奇爸爸(四張卡片除字母和內(nèi)容外,其余完全相同).姐弟兩人做游戲,他們將這四張卡片混在一起,背面朝上放好.
(1)姐姐從中隨機抽取一張卡片,恰好抽到A佩奇的概率為 ;
(2)若兩人分別隨機抽取一張卡片(不放回),請用列表或畫樹狀圖的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B喬治的概率.
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【題目】如圖所示,在四張背面完全相同的紙牌的正面分別畫有四個不同的幾何圖形,將這四張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張,不放回,再摸出一張
(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(紙牌可用A、B、C、D表示);
(2)求摸出的兩張紙牌牌面上所畫幾何圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率.
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