【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點A(﹣1,0)、B(4,0),與y軸交于點C.
(1)a=;b=;
(2)點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點,過點P作PQ⊥BC于點Q,連接PC.
①求線段PQ的最大值;
②若以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似,求點P的坐標(biāo).
【答案】
(1)﹣ ,
(2)①由(1)知,a=﹣ ,b= ,
∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+2,
如圖,過點P作PG垂直于x軸于點G,與線段BC交于點M,
直線BC的表達(dá)式為y=﹣ x+2,則點M的坐標(biāo)為(t,﹣ t+2),
則PM=yP﹣yM=(﹣ t2+ t+2)﹣(﹣ t+2)=﹣ t2+2t
∵∠PQM=∠PGB,∠PMQ=GMB,
∴∠QPM=∠CBO
又∵∠PQM=∠COB,
∴△PQM∽△BOC,
∴
∴PQ= PM= (﹣ t2+2t)=﹣ t(t﹣4)
由拋物線的對稱性可知,當(dāng)t=2時,PQ的最大值是 =
②由①知,二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+2,
∴C(0,2),
∴OC=2,
∵B(4,0),
∴OB=4,
設(shè)P(t,﹣ t2+ t+2),
∴M(t,﹣ t+2)
在Rt△OBC中,tan∠OBC= = ,
在Rt△BGM中,BG=4﹣t,
∴MG= (4﹣t),根據(jù)勾股定理得,
BM= (4﹣t),
∵∠PQM=∠PGB,∠PMQ=GMB,
∴△PQM∽△BGM,
∴ ,= ,
∴QM= PQ= [﹣ t(t﹣4)]=﹣ ,
∵B(4,0),C(0,2),
∴BC=2 ,
∴CQ=BC﹣QM﹣BM=2 + ﹣ (4﹣t)= = t(t+1)
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),
∴AB2=25,BC2=20,AC2=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠ACB=90°=∠PQC
∵以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似,
∴①△PCQ∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴t=3,
∴P(3,2)
②△CPQ∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴t= ,
∴P( , )
即:P的坐標(biāo)為(3,2)或( , ).
【解析】解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點A(﹣1,0)、B(4,0),
∴ ,
∴ ,
故答案為:﹣ , ;
(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)先確定出PM,再判斷出△PQM∽△BOC,得出PQ的長,即可得出結(jié)論;
(3)利用相似三角形的性質(zhì)得出CQ,再分兩種情況用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可得出結(jié)論.
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【題目】要用12米長的木條,做一個有一條橫擋的矩形窗戶(如圖),怎樣設(shè)計窗口的高和寬的長度,才能使這個窗戶透進(jìn)的光線最多.
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【題目】如圖,點D為∠BAC邊AC上一點,點O為邊AB上一點,AD=DO.以O(shè)為圓心,OD長為半徑作半圓,交AC于另一點E,交AB于點F、G,連接EF.若∠BAC=22°,則∠EFG=°.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C1,平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0,﹣4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;
(2)若將△A1B1C1繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC, BO是AC邊上的中線,點P,D分別在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于點E,
(1)求證:△BPO≌△PDE.
(2)若PB平分∠ABO,其余條件不變.求證:AP=CD.
(先將圖形補(bǔ)充完整,然后再證明)
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【題目】已知四邊形AOCD是放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形,其中O是坐標(biāo)原點,點A,C,D的坐標(biāo)分別為(0,8),(5,0),(3,8).若點P在梯形內(nèi),且△PAD的面積等于△POC的面積,△PAO的面積等于△PCD的面積. 求點P的坐標(biāo).
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【題目】(1)如圖1,是等邊三角形邊上一動點(點)與點不重合,連接,以為邊在上方作等邊三角形,連接,你能發(fā)現(xiàn)與之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
(2)如圖二,當(dāng)動點在等邊三角形邊上運(yùn)動時(點與點不重合),連接,以為邊在其上方、下方分別作等邊三角形和等邊三角形,連接,,探究,與有何數(shù)量關(guān)系?并證明你探究的結(jié)論.
(3)如圖三,當(dāng)動點在等邊三角形邊的延長線上運(yùn)動時,其他作法與圖2相同,若,請直接寫出 .
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【題目】如圖,已知是腰長為1的等腰三角形,以的斜邊為直角邊,畫第二個等腰三角形,再以的斜邊為直角邊,畫第三個等腰三角形,…,以此類推,則第2019個等腰三角形的斜邊長是___________。
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+3與拋物線 交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標(biāo)為 .動點P在拋物線上運(yùn)動(不與點A、B重合),過點P作y軸的平行線,交直線AB于點Q.當(dāng)PQ不與y軸重合時,以PQ為邊作正方形PQMN,使MN與y軸在PQ的同側(cè),連結(jié)PM.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求b、c的值.
(2)當(dāng)點N落在直線AB上時,直接寫出m的取值范圍.
(3)當(dāng)點P在A、B兩點之間的拋物線上運(yùn)動時,設(shè)正方形PQMN的周長為C,求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出C隨m增大而增大時m的取值范圍.
(4)當(dāng)△PQM與坐標(biāo)軸有2個公共點時,直接寫出m的取值范圍.
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