Question

【題目】如圖①，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，四邊形是四邊形，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)

(1)若，求反比例函數(shù)解析式；

(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且的面積，求的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)中的條件下，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)(如圖②)，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，是否存在這樣的點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；C(，)；(3) P或.

【解析】

（1）根據(jù)sin∠AOB=，OA=5，可知點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入解析式求解．

（2）根據(jù)反比例函數(shù)″k″的幾何意義，轉(zhuǎn)化三角形的面積，列式求解即可．

（3）分兩種情況，以A為直角頂點(diǎn)和以O為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造″K″字形相似，列出比例關(guān)系可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1) 過(guò)點(diǎn)作于，

∵，，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

反比例函數(shù)解析式：

(2)設(shè)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，

由平行四邊形性質(zhì)可知OH=BN，

∵sin∠AOB=，

，

，

∵S△AOF=12，

∴S四邊形AOBC=24，

∵F為BC的中點(diǎn)，

∴S△OBF=6，

，

，

，

，

∵S四邊形AOBC=24，

(3) 存在兩種情況，

①A為直角頂點(diǎn)，如圖3所示，

），點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，

∵EF∥OB，點(diǎn)P在直線EF上，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N，

則PM=，

∵∠OAP=90°，

∴△OAN∽△APM，

，即，

，

，

.

②以O為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖4所示，

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，

則，

∵∠AOP=90°，

則△PON∽△AOM，

，即，

，

∴點(diǎn)P，

綜上所述：點(diǎn)P或.