Question

【題目】 如圖，BD為⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．

（1）求AB的長；

（2）延長DB到F，使BF＝BO，連接FA，請判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB＝2；（2）直線FA與⊙O相切．理由見解析.

【解析】

(1)易證△BAE∽△DAB，利用相似三角形的性質(zhì)進行求解即可；

(2)連接OA，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BAD＝90°，求出BD的長，繼而可得△OAB為等邊三角形，再結(jié)合角的和差得到∠OAF＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到直線AF是⊙O的切線.

(1)∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠C與∠D是同弧所對的圓周角，

∴∠C＝∠D，

∴∠ABC＝∠D，

而∠BAE＝∠DAB，

∴△BAE∽△DAB，

∴AB：AD＝AE：AB，即AB2＝ADAE，

又∵AE＝2，ED＝4，

∴AD＝6，

∴AB2＝2×6＝12，

∴AB＝2；

(2)直線FA與⊙O相切，理由如下：

連接OA，如圖，

∵BD為直徑，

∴∠BAD＝90°，

∴BD＝，

∴∠D＝30°，

∴∠AOB＝60°，

∴△OAB為等邊三角形，

∴AB＝BO，

又∵BF＝BO，

∴AB＝BF＝BO，

∴∠ABO＝∠AOB＝60°，∠F＝∠FAB，

∴∠F＝∠FAB＝∠ABO＝30°，

∴∠OAF＝∠FAB+∠BAO＝90°，

∴直線AF是⊙O的切線．