Question

三個(gè)牧童A，B，C在一塊正方形的牧場(chǎng)上看守一群牛，為保證公平合理，他們商量將牧場(chǎng)劃分為三塊分別看守，劃分的原則是：①每個(gè)人看守的牧場(chǎng)面積相等；②在每個(gè)區(qū)域內(nèi)，各選定一個(gè)看守點(diǎn)，并保證在有情況時(shí)他們所需走的最大距離（看守點(diǎn)到本區(qū)域內(nèi)最遠(yuǎn)處的距離）相等．按照這一原則，他們先設(shè)計(jì)了一種如圖1的劃分方案：把正方形牧場(chǎng)分成三塊全等的長(zhǎng)方形，大家分頭守在這三個(gè)長(zhǎng)方形的中心（對(duì)角線交點(diǎn)），看守自己的一塊牧場(chǎng)．
過(guò)了一段時(shí)間，牧童B和牧童C又分別提出里新的劃分方案．
牧童B的劃分方案如圖2：三塊長(zhǎng)方形的面積相等，牧童的位置在三個(gè)小長(zhǎng)方形的中心．
牧童C的劃分方案如圖3：把正方形的牧場(chǎng)分成三塊長(zhǎng)方形，牧童的位置在三個(gè)小長(zhǎng)方形的中心，并保證在有情況時(shí)三個(gè)人所需走的最大距離相等．請(qǐng)回答：

（I）長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線是相等且互相平分的嗎？
（II）牧童B的劃分方案中，哪個(gè)牧童在有情況時(shí)所需走的最大距離較遠(yuǎn)？
（III）牧童C的劃分方案是否符合他們商量的劃分原則？為什么？（提示：在計(jì)算時(shí)可取正方形邊長(zhǎng)為2）

Answer 1

分析：（I）根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)即可得到長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線是相等且互相平分．
（II）設(shè)正方形牧場(chǎng)的邊長(zhǎng)為2，牧童A和B看守的長(zhǎng)方形的一邊為1，設(shè)另一邊為x，根據(jù)三塊長(zhǎng)方形的面積相等，有牧童B所在長(zhǎng)方形的面積等于正方形面積的三分一，即

1

2

x=

1

3

×2²，解出x=

4

3

，然后根據(jù)勾股定理分別計(jì)算出牧童A和B所需走的最大距離和牧童C所需走的最大距離，再比較大小即可得到誰(shuí)走的最大距離較遠(yuǎn)；
（III）設(shè)正方形牧場(chǎng)的邊長(zhǎng)為2，對(duì)于牧童C的劃分方案，牧童A和B看守的長(zhǎng)方形的一邊為1，設(shè)另一邊為x，根據(jù)三個(gè)人所需走的最大距離相等，利用勾股定理得到
1²+x²=2²+（2-x）²，解得x=

7

4

，然后計(jì)算牧童B所在長(zhǎng)方形的面積為

7

4

，它不等于正方形面積的三分一，因此得到牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原則．

解答：解：（I）長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線是相等且互相平分．
（II）設(shè)正方形牧場(chǎng)的邊長(zhǎng)為2，對(duì)于牧童B的劃分方案，如圖2：牧童A和B看守的長(zhǎng)方形的一邊為1，設(shè)另一邊為x，
∵三塊長(zhǎng)方形的面積相等，
∴

1

2

x=

1

3

×2²，x=

4

3

，
∴牧童A和B所需走的最大距離為長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半：

1

2

12+( 4 3 )2

=

5

6

，牧童C所需走的最大距離為：

1

2

2 2+(2- 4 3 )2

=

10

3

，
∴牧童C在有情況時(shí)所需走的最大距離較遠(yuǎn)．
（III）牧童C的劃分方案不符合他們商量的劃分原則．理由如下：
設(shè)正方形牧場(chǎng)的邊長(zhǎng)為2，對(duì)于牧童C的劃分方案，如圖3：牧童A和B看守的長(zhǎng)方形的一邊為1，設(shè)另一邊為x，
∵三個(gè)人所需走的最大距離相等，
∴1²+x²=2²+（2-x）²，解得x=

7

4

，
∴牧童B的所在的長(zhǎng)方形的面積=1×

7

4

=

7

4

，而正方形面積的三分之一為

4

3

，
∴三個(gè)長(zhǎng)方形的面積不相等，不符合他們商量的劃分原則．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四邊相等，四個(gè)角都為90°，面積等于邊長(zhǎng)的平方．也考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)以及勾股定理．