【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A3,0),B-1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.

1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標;

2)當點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以AE,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標;若不存在,請說明理由.

3)當P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀,并求出D點坐標.

【答案】1C0,-4).(2)存在.點E的坐標為(-,0)或(-,0)或(-1,0)或(7,0).(3)四邊形APDQ為菱形,D點坐標為(--).

【解析】試題分析:(1)將A,B點坐標代入函數(shù)y=x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式及C坐標.

2)等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線,畫圓易得E大致位置,設邊長為x,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標.

3)注意到PQ運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、D對稱,則AP=DPAQ=DQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.利用菱形對邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點坐標,又DE函數(shù)上,所以代入即可求t,進而D可表示.

試題解析:(1二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A3,0),B-1,0),

,解得,

y=x2-x-4

∴C0-4).

2)存在.

如圖1,過點QQD⊥OAD,此時QD∥OC,

∵A3,0),B-1,0),C0,-4),O0,0),

∴AB=4,OA=3,OC=4

AC==5,

當點P運動到B點時,點Q停止運動,AB=4

∴AQ=4

∵QD∥OC,

,

,

QD=,AD=

AQ的垂直平分線,交AOE,此時AE=EQ,即△AEQ為等腰三角形,

AE=x,則EQ=xDE=AD-AE=|-x|,

RtEDQ中,( -x2+2=x2,解得 x=,

OA-AE=3-=-,

E-,0),

說明點Ex軸的負半軸上;

Q為圓心,AQ長半徑畫圓,交x軸于E,此時QE=QA=4,

ED=AD=,

AE=,

OA-AE=3-=-

E-,0).

AE=AQ=4時,

1.當EA點左邊時,

∵OA-AE=3-4=-1

∴E-1,0).

2.當EA點右邊時,

∵OA+AE=3+4=7

∴E7,0).

綜上所述,存在滿足條件的點E,點E的坐標為(-0)或(-,0)或(-10)或(7,0).

3)四邊形APDQ為菱形,D點坐標為(-,-).理由如下:

如圖2,D點關于PQA點對稱,過點Q作,FQ⊥APF

∵AP=AQ=t,AP=DPAQ=DQ,

∴AP=AQ=QD=DP,

四邊形AQDP為菱形,

∵FQ∥OC

,

,

AF=tFQ=t

Q3-t,-t),

∵DQ=AP=t,

D3-t-t,-t),

D在二次函數(shù)y=x2-x-4上,

-t=3-t2-3-t-4

t=,或t=0(與A重合,舍去),

D-,-).

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2)拓展探究

如圖2,將直線y=x+1向下平移b個單位,y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點,b的值;

如圖3,將直線y=kxk0)繞著原點旋轉(zhuǎn),y=x2﹣2|x|的圖象交于A、B兩點(AB右),直線x=1上有一點P,在直線y=kxk0)旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在某一時刻,PAB是一個以AB為斜邊的等腰直角三角形(點PAB按順時針方向排列).若存在,請求出k;若不存在請說明理由

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(說明:成績80分及以上為優(yōu)秀,7079分為良好,6069分為合格,60分以下為不合格)

b.甲校成績在70x<80這一組的是:70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78

c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

(1)寫出表中n的值;

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