Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，）.點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線(xiàn)y=－1與y軸交于點(diǎn)H．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是（1）中圖象上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)與直線(xiàn)y=－1交于點(diǎn)M.

①求證：FM平分∠OFP；

②當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，試求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）①詳見(jiàn)解析；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將代入即可求出解析式；

（2）①過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得出結(jié)論.

②根據(jù)△FPM是等邊三角形，可得∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于的方程，求出的值，即可等得出答案.

（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為，

將點(diǎn)代入得，

∴二次函數(shù)的解析式為.

（2）①證明：∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

如右圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，

則，，

∴Rt△BPF中，，

∵PM⊥直線(xiàn)，∴，

∴PF=PM.

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥軸，∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP.

②當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，∴，

解得：，（舍去-2）

∴，

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．