【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B(-2,0),點(diǎn)C(8,0),與y軸交于點(diǎn)A.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式;

(2)連接AC,AB,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合),過(guò)點(diǎn)N作NMAC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)AMN面積最大時(shí),求N點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)連接OM,在(2)的結(jié)論下,求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)N(3,0);(3)OM=AC.

【解析】

試題分析:(1)由B、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)可設(shè)N(n,0),則可用n表示出ABN的面積,由NMAC,可求得,則可用n表示出AMN的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)n的值,即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)由N點(diǎn)坐標(biāo)可求得M點(diǎn)為AB的中點(diǎn),由直角三角形的性質(zhì)可得OM=AB,在RtAOB和RtAOC中,可分別求得AB和AC的長(zhǎng),可求得AB與AC的關(guān)系,從而可得到OM和AC的數(shù)量關(guān)系.

試題解析:(1)將點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得

解得,

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+x+4;

(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0)(﹣2n8),

則BN=n+2,CN=8﹣n.

B(﹣2,0),C(8,0),

BC=10,

在y=﹣x2+x+4,令x=0,可解得y=4,

點(diǎn)A(0,4),OA=4,

SABN=BNOA=(n+2)×4=2(n+2),

MNAC,

,

0,

當(dāng)n=3時(shí),即N(3,0)時(shí),AMN的面積最大;

(3)當(dāng)N(3,0)時(shí),N為BC邊中點(diǎn),

MNAC,

M為AB邊中點(diǎn),

OM=AB,

AB=,AC=

AB=AC,

OM=AC.

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根據(jù)所給信息,解答下列問(wèn)題:

(1)m= ,n=

(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(3)這200名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在 分?jǐn)?shù)段;

(4)若成績(jī)?cè)?0分以上(包括90分)為“優(yōu)”等,請(qǐng)你估計(jì)該校參加本次比賽的3000名學(xué)生中成績(jī)是“優(yōu)”等的約有多少人?

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(2)判斷EB與GD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
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解:分布過(guò)A、C做x軸的平行線,過(guò)B、C做y軸的平行線,兩組平行線的交點(diǎn)如圖1所示.
設(shè)C(x0 , y0),則D(x0 , y1),E(x2 , y1),F(xiàn)(x2 , y0
由圖1可知:x0= =
y0= =
∴( ,

問(wèn)題:
(1)已知A(﹣1,4),B(3,﹣2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)平行四邊形ABCD中,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1,﹣4),(0,2),(5,6),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)如圖2,B(6,4)在函數(shù)y= x+1的圖象上,A(5,2),C在x軸上,D在函數(shù)y= x+1的圖象上,以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形,直接寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo).

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