Question

已知：拋物線y=x²-2x-m（m＞0）與y軸交于點C，C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′點．
（1）求C點，C′點的坐標（可用含m的代數(shù)式表示）；
（2）如果點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，以點C，C′，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求Q點和P點的坐標（可用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，求出平行四邊形的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x-m（m＞0）可求出對稱軸直線，令x=0，可求出C點坐標，根據(jù)其對稱軸可求出C′的坐標．
（2）畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質，令對邊平行且相等或對角線互相垂直平分解答．
（3）根據(jù)勾股定理求出各邊長，即可求出四邊形周長．

解答：解：（1）所求對稱軸為直線x=1，C（0，-m）C′（2，-m）；

（2）如圖所示
①當PQ∥CC′且PQ=2時，P橫坐標為3，代入二次函數(shù)解析式求得P（3，3-m），
②當P′Q∥CC′且PQ=2時，P橫坐標為-1，代入二次函數(shù)解析式求得P（-1，3-m），
③因為CC′⊥Q'P″，當Q′F=P″F，CF=C'F時，P″為二次函數(shù)頂點坐標，為（1，-1-m），
由于P″和Q′關于直線CC′對稱，
所以Q′縱坐標為2（-m）+1+m=-m+1，
得Q′（1，1-m），
所以滿足條件的P、Q坐標為P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m），Q（1，3-m）；P″（1，-1-m），Q′（1，1-m）．

（3）①因為Q點縱坐標為3-m，C點縱坐標為-m，
所以CW=3-m+m=3，又因為WQ=1，
所以CQ=

12+32

=

10

，
又因為CC′=2，
所以平行四邊形CC′P′Q周長為（2+

10

）×2=4+2

10

，
同理，平行四邊形CC′QP周長也為4+2

10

．
②因為CF=1，F(xiàn)Q=

1

2

[1-m-（-1-m）]=1，C′Q=

12+12

=

2

．
平行四邊形CC′P′Q周長為4

2

，
所求平行四邊形周長為4+2

10

或4

2

．

點評：本題是一道中考壓軸題，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．尤其是（2）題，有一定的開放性，最好是借助圖象進行解答．