(2013•順義區(qū)一模)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與y軸交于點A,且經(jīng)過B(1,0),C(5,8)兩點,點D是拋物線頂點,E是對稱軸與直線AC的交點,F(xiàn)與E關(guān)于點D對稱.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:∠AFE=∠CFE;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△AFP與△FDC相似?若有,請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若沒有,請說明理由.
分析:(1)已知拋物線過B、C兩點,而且兩點的坐標(biāo)都已得出,可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式;
(2)由(1)可得拋物線頂點D(2,-1),直線AC的解析式為y=x+3,由E是對稱軸與直線AC的交點,可得E點坐標(biāo),由F與E關(guān)于點D對稱,可得F點坐標(biāo),從點A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN,交對稱軸于M、N,通過證明Rt△FAM∽Rt△FCN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解;
(3)在△FDC中,三內(nèi)角不等,且∠CDF為鈍角,分兩種情況:①若點P在點F下方時,②若點P在點F上方時,討論即可求解.
解答:解:(1)將點B(1,0),C(5,8)代入y=ax2+bx+3得
a+b+3=0
25a+5b+3=8

解得
a=1
b=-4
,
所以拋物線的解析式為y=x2-4x+3;

(2)由(1)可得拋物線頂點D(2,-1),
直線AC的解析式為y=x+3,
由E是對稱軸與直線AC的交點,則E(2,5),
由F與E關(guān)于點D對稱,則F(2,-7),
證法一:從點A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN,交對稱軸于M、N,
在Rt△FAM和Rt△FCN中
∠AMF=∠CNF=90°,
AM
MF
=
2
10
=
1
5
=
3
15
=
CN
NF

所以Rt△FAM∽Rt△FCN,
所以∠AFE=∠CFE;
證法二:直線AF的解析式為y=-5x+3,
點C(5,8)關(guān)于對稱軸的對稱點是Q(-1,8),
將點Q(-1,8)代入y=-5x+3,可知點Q在直線AF上,
所以∠AFE=∠CFE;

(3)在△FDC中,三內(nèi)角不等,且∠CDF為鈍角
①若點P在點F下方時,
在△AFP中,∠AFP為鈍角
因為∠AFE=∠CFE,∠AFE+∠AFP=180°,∠CFE+∠CDF<180°,
所以∠AFP和∠CDF不相等
所以,點P在點F下方時,兩三角形不能相似 
②若點P在點F上方時,
由∠AFE=∠CFE,要使△AFP與△FDC相似
只需
AF
CF
=
PF
DF
(點P在DF之間)或
AF
DF
=
PF
CF
(點P在FD的延長線上)
解得點P的坐標(biāo)為(2,-3)或(2,19).
點評:主要考查待定系數(shù)法、方程、函數(shù)及三角形相似等知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識、分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.此題是一道以函數(shù)為背景的綜合壓軸題,第1、2兩個小題較為容易,上手很輕松,第3小題中很容易看出要討論相似三角形的對應(yīng)頂角,想提醒大家的是在中考中應(yīng)該對可能的情況進(jìn)行逐一討論,才能盡量防止漏解.
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1
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3
a2-9
+
1
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)
÷
a2
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的值.

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