Question

【題目】已知P為所在平面內一點，連接PA，PB，PC，在，和中，若存在一個三角形與相似全等除外那么就稱P為的共相似點”根據(jù)“共相似點“是否落在三角形的內部，邊上或外部，可將其分為內共相似點”，“邊共相似點或“外共相似點”．

據(jù)定義可知，等邊三角形______填“存在”或“不存在共相似點

（探究）用邊共相似點探究三角形的形狀

如圖1，若的一個邊共相似點P與其對角項點B的連線，將分割成的兩個三角形恰與原三角形均相似，試判斷的形狀，并說明理由．

（探究2）用內共相似點探究三角形的內角關系

如圖2，在中，，高線CD與角平分線BE交于點P，若P是的一個內共相似點試說明點E是的邊共相似點，并直接寫出的度數(shù)；

（探究）探究直角三角形共相似點的個數(shù)

如圖3，在中，，，，若與相以，則滿足條件的P點共有______個

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）是直角三角形；（3）；（4）的“共相似點”共有8個

【解析】

根據(jù)“共相似點”的定義容易得出結論；

根據(jù)題意得：∽，由相似三角形的性質得出，同理得：，得出，求出即可；

根據(jù)題意得：∽，由相似三角形的性質得出，，再由角平分線角平分線定義得出，證出∽，得出點E是的邊共相似點；由直角三角形的性質得出，得出，求出；

通過作圖得出的“共相似點”共有8個，

根據(jù)“共相似點”的定義得：等邊三角形不存在共相似點．

故答案為：不存在；

是直角三角形，理由如下：

根據(jù)題意得：∽，

，

同理得：，

，

解得：，

是直角三角形；

根據(jù)題意得：∽，

，，

平分，

，

，

，

，，

∽，

點E是的邊共相似點；

是的高，

，

，

，

解得：；

作于P，則P為的“共相似點”；

過B作BC的垂線與CP的延長線的交點是的“共相似點”；

作的平分線與AC的交點是的“共相似點”；

過C作的垂線，垂足是的“共相似點”；

同理：以上四個的“共相似點”關于直線BC的對稱點是的“共相似點”；

的“共相似點”共有8個，如圖所示：