【題目】如圖,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn),將BCD沿直線CD折疊,使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求OE的長及經(jīng)過O,D,C三點(diǎn)拋物線的解析式;

(2)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿CB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā),沿EC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),DP=DQ;

(3)若點(diǎn)N在(1)中拋物線的對稱軸上,點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出M點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)在RtCOE中,OE===3,拋物線解析式為y=x(x+4)=x2+x;

(2)t=

(3)存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(2,16)或(6,16)或(2,).

【解析】

試題分析:(1)由折疊的性質(zhì)可求得CE、CO,在RtCOE中,由勾股定理可求得OE,設(shè)AD=m,在RtADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合C、O兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)用t表示出CP、BP的長,可證明DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;

(3)可設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo),分三種情況EN為對角線,EM為對角線,EC為對角線,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對角線的交點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo),再代入拋物線解析式可求得M點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析:(1)CE=CB=5,CO=AB=4,

在RtCOE中,OE===3,

設(shè)AD=m,則DE=BD=4m,

OE=3,

AE=53=2,

在RtADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4m)2,解得m=,

D(,5),

C(4,0),O(0,0),

設(shè)過O、D、C三點(diǎn)的拋物線為y=ax(x+4),

∴﹣5=a(+4),解得a=

拋物線解析式為y=x(x+4)=x2+x;

(2)CP=2t,BP=52t,BD=,DE==BD=DE,

在RtDBP和RtDEQ中,,

RtDBPRtDEQ(HL),

BP=EQ,

52t=t,

t=;

(3)拋物線的對稱軸為直線x=2,

設(shè)N(2,n),

又由題意可知C(4,0),E(0,3),

設(shè)M(m,y),

當(dāng)EN為對角線,即四邊形ECNM是平行四邊形時(shí),

則線段EN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=1,線段CM中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

EN,CM互相平分,

=1,解得m=2,

又M點(diǎn)在拋物線上,

y=×22+×2=16,

M(2,16);

當(dāng)EM為對角線,即四邊形ECMN是平行四邊形時(shí),

則線段EM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,線段CN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=3,

EM,CN互相平分,

=3,解得m=6,

M點(diǎn)在拋物線上,

y=×6)2+×6)=16,

M(6,16);

當(dāng)CE為對角線,即四邊形EMCN是平行四邊形時(shí),

則M為拋物線的頂點(diǎn),即M(2,).

綜上可知,存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(2,16)或(6,16)或(2,).

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(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少(用含x的代數(shù)式表示);

(2)試求NPC面積S的表達(dá)式,并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值;

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型號

A

B

單個(gè)盒子容量(升)

2

3

單價(jià)(元)

5

6

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∴∠1=∠E(
∠2=∠3(
∵∠E=∠3(已知)
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∴AD是∠BAC的平分線(

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A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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