Question

【題目】如圖，點(diǎn)M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM＝3，ON＝7，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)G，到邊OA，OB的距離相等，且滿足GM＝GN．

（1）尺規(guī)作圖：畫出點(diǎn)G（要求：保留作圖痕跡）；

（2）試證明：∠OMG+∠ONG＝180°；

（3）若P，Q分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足GP＝GQ，則當(dāng)OP＝4時(shí)，OQ的長(zhǎng)度為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4或6

【解析】

（1）作OP平分∠AOB，作線段MN的垂直平分線EF，EF交OP于點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求；

（2）證明△OGK≌△OGH（AAS），推出OK＝OH，GK＝GH，由GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，推出Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），再利用全等三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理解決問題；

（3）首先求出OK＝OH＝5，PK＝1，然后分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖，點(diǎn)G即為所求．

（2）證明：作GK⊥OA于K，GH⊥OB于H．

∵∠GOK＝∠GOH，∠GKO＝∠GHO＝90°，OG＝OG，

∴△OGK≌△OGH（AAS），

∴OK＝OH，GK＝GH，

∵GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，

∴Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），

∴∠KGM＝∠HGN，

∴∠MGN＝∠KGH，

∵∠KGH+∠AOB＝180°，

∴∠MGN+∠AOB＝180°，

∴∠OMG+∠ONG＝180°；

（3）如圖，

∵OK＝OH，MK＝NH，

∴OM+ON＝OK﹣KM+OH+HN＝2OK＝10，

∴OK＝OH＝5，

∵OP＝4，

∴PK＝5﹣4＝1，

∵GP＝GQ，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在線段OH上時(shí)，OQ＝OP＝4，

當(dāng)點(diǎn)Q′在OH的延長(zhǎng)線上時(shí)，OQ′＝5+1＝6，

故答案為4或6．