Question

如圖，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定頂點(diǎn)在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，現(xiàn)給出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三個(gè)命題：

命題（Ⅰ）：圖①中，若AH＝BG＝AB，則四邊形ABGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；

命題（Ⅱ）：圖②中，若點(diǎn)E、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；

命題（Ⅲ）：圖③中，若EF垂直平分對(duì)角線(xiàn)AC，變BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形.

請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

1.命題（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命題嗎？請(qǐng)你在其中選擇一個(gè)，并證明它是真命題或假命題；

2.畫(huà)出一個(gè)新的矩形內(nèi)接菱形（即與你在（1）中所確認(rèn)的，但不全等的內(nèi)接菱形）.

3.試探究比較圖①，②，③中的四邊形ABGH、EFGH、AECF的面積大小關(guān)系

 

Answer 1

【答案】

 

1.都是真命題…………………………………………（1分）

若選（Ⅰ）證明如下：

∵矩形ABCD

∴AD//BC

∵AH＝BG

∴四邊形ABGH是平行四邊形

∴AB＝HG

∴AB＝HG＝AH＝BG

∴四邊形ABGH是菱形　………………………………………………………………（4分）

若選（Ⅱ），證明如下：

∵矩形ABCD　∴AB＝CD，AD＝BC

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

∵E、F、G、H是中點(diǎn)，

∴AE＝BE＝CG＝DG　AH＝HD＝BF＝FC

∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF

∴EF＝FG＝GH＝HE

∴四邊形　EFGH是菱形………………………………………………………………（4分）

若選（Ⅲ），證明如下

∵EF垂直平分AC

∴FA＝FC　EA＝EC

又∵矩形ABCD

　∴AD//BC　　∴∠FAC＝∠ECA

在△AOF和△COE中

∴△ADF≌△COE（BAS）

∴AF＝CE　∴AF＝FC＝CE＝EA

∴四邊形AECF是菱形………………………………………………………………（4分）

2.如圖所示…………………………………………………………………………（6分）

3.S_ABGH＝a²    S_EFGH＝　　　　…………………（9分）

（b>a）

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)即0<b＜2a　

　當(dāng)a＝時(shí)　即b＝2a　

　當(dāng)a＝＜時(shí)　即b＞a　

綜上所述：

當(dāng)O＜b＜2a時(shí)    

當(dāng)b＝2a時(shí)    

當(dāng)b＞2a時(shí)     　　…………………………………（10分）

【解析】（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；

        （2）該題要考慮到O＜b＜2a、b＝2a、b＞2a三種情況，學(xué)生做題時(shí)往往考慮不周到。