【題目】在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,點P從點A出發(fā),沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動,P、Q兩點在分別到達B、C兩點時就停止移動,設(shè)兩點移動的時間為t秒,解答下列問題:
(1)如圖1,當t為幾秒時,△PBQ的面積等于4cm2?
(2)如圖2,以Q為圓心,PQ為半徑作⊙Q.在運動過程中,是否存在這樣的t值,使⊙Q正好與四邊形DPQC的一邊(或邊所在的直線)相切?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)t=1秒或4秒;(2)t=0秒或(﹣15+)秒.
【解析】
(1)由題意可知PA=t,BQ=2t,從而得到PB=5﹣t,BQ=2t,然后根據(jù)△PQB的面積=4cm2列方程求解即可;
(2)當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合,此時圓Q與PD相切;當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時,由圓的性質(zhì)可知QC=QP,然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可;
解:(1)∵當運動時間為t秒時,PA=t,BQ=2t,
∴PB=5﹣t,BQ=2t.
∵△PBQ的面積等于4cm2,
∴PBBQ=(5﹣t)2t.
∴(5﹣t)2t=4.
解得:t1=1,t2=4.
答:當t為1秒或4秒時,△PBQ的面積等于4cm2;
(2)由題意可知圓Q與PQ、CQ不相切.下面分兩種情況討論:
(Ⅰ)如圖1所示:當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合.
∵∠DAB=90°,
∴∠DPQ=90°.
∴DP⊥PQ.
∴DP為圓Q的切線.
(Ⅱ)當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時,如圖2所示.
由題意可知:PB=5﹣t,BQ=2t,PQ=CQ=10﹣2t.
在Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(5﹣t)2+(2t)2=(10﹣2t)2.
解得:t1=﹣15+,t2=﹣15﹣(舍去).
綜上所述可知當t=0秒或t=(﹣15+)秒時,⊙Q與四邊形DPQC的一邊相切.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C、D在半圓上,,過D作DE⊥BC于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)若DE=2CE=4,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于點A,與y軸交于點B,過點B的直線交x軸于C,且面積為10.
(1)求點C的坐標及直線BC的解析式;
(2)如圖1,設(shè)點F為線段AB中點,點G為y軸上一動點,連接FG,以FG為邊向FG右側(cè)作正方形FGQP,在G點的運動過程中,當頂點Q落在直線BC上時,求點G的坐標;
(3)如圖2,若M為線段BC上一點,且滿足,點E為直線AM上一動點,在x軸上是否存在點D,使以點D、E、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點D是AB上一點,過點D作DE⊥BC交BC于點E,交CA延長線于點F.
(1)證明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的長,
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,6),點B(4,3),P是x軸上的一個動點.作OQ⊥AP,垂足為Q,則點Q到直線AB的距離的最大值為_____.
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【題目】已知⊙O經(jīng)過四邊形ABCD的B、D兩點,并與四條邊分別交于點E、F、G、H,且.
(1)如圖①,連接BD,若BD是⊙O的直徑,求證:∠A=∠C;
(2)如圖②,若的度數(shù)為θ,∠A=α,∠C=β,請直接寫出θ、α和β之間的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】某商場經(jīng)營某種品牌的計算器,購進時的單價是20元,根據(jù)市場調(diào)查:在一段時間內(nèi),銷售單價是30元時,銷售量是600個,而銷售單價每上漲1元,就會少售出10個.
(1)不妨設(shè)該種品牌計算器的銷售單價為x元(x>30),請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y個和銷售該品牌計算器獲得利潤w元,并把結(jié)果填寫在表格中:
銷售單價(元) | x(x>30) |
銷售量y(個) |
|
銷售計算器獲得利潤w(元) |
|
(2)在第(1)問的條件下,若計算器廠規(guī)定該品牌計算器銷售單價不低于35元,且商場要完成不少于500個的銷售任務(wù),求:商場銷售該品牌計算器獲得最大利潤是多少?
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【題目】已知:如圖①,②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分別是邊BC,CD上的點.
(1)如圖①,若AP⊥PQ,BP=2,求CQ的長;
(2)如圖②,若=2,且E,F,G分別為AP,PQ,PC的中點,求四邊形EPGF的面積.
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【題目】已知拋物線y1=x2﹣2x+c的部分圖象如圖1所示:
(1)確定c的取值范圍;
(2)若拋物線經(jīng)過點(0,﹣1),試確定拋物線y1=x2﹣2x+c的解析式;
(3)若反比例函數(shù)y2=的圖象經(jīng)過(2)中拋物線上點(1,a),試在圖2所示直角坐標系中,畫出該反比例函數(shù)及(2)中拋物線的圖象,并利用圖象寫出當y1>y2時,對應(yīng)自變量x的取值范圍.
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