【題目】已知拋物線L;y=ax2+bx+c(其中ab、c都不等于0), 它的頂點P的坐標是,y軸的交點是M(0,c)我們稱以M為頂點,對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PML的伴隨直線.

(1)請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式:

伴隨拋物線的關(guān)系式_________________

伴隨直線的關(guān)系式___________________

(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3y=-x-3, 則這條拋物線的關(guān)系是___________:

(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式;

(4)若拋物線Lx軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x 軸交于C,D兩點,AB=CD,請求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.

【答案】(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3;(3y=x+c;(4b2=8acab<0,(b2=8acbc<0).

【解析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

1)先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標.然后根據(jù)M的坐標用頂點式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式.根據(jù)M,P兩點的坐標即可求出直線PM的解析式;

2)由題意可知:伴隨拋物線的頂點坐標是拋物線與y軸交點坐標,伴隨拋物線與伴隨直線的交點(與y軸交點除外)是拋物線的頂點,據(jù)此可求出拋物線的解析式;

3)方法同(1);

4)本題要考慮的a、b、c滿足的條件有:

拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點,因此0,

由于拋物線L中,x2x10,因此拋物線的對稱軸x0,兩根的積大于0

根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長,根據(jù)AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件.

解:(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.

(2)y=x2-2x-3

(3)∵伴隨拋物線的頂點是(0,c),

設(shè)它的解析式為y=m(x-0)2+c(m≠0).

設(shè)拋物線過P,

解得m=-a,∴伴隨拋物線關(guān)系式為y=-ax2+c.

設(shè)伴隨直線關(guān)系式為y=kx+c(k≠0).

P在此直線上,, k=.

伴隨直線關(guān)系式為y=x+c

(4)∵拋物線Lx軸有兩交點,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.

x2>x1>0,x1+ x2= ->0,x1x2=>0,ab<0,ac>0.

對于伴隨拋物線y=-ax2+c,2=02-(-4ac)=4ac>0.-ax2+c=0,x=.

,CD=2.

AB=x2-x1=.

AB=CD,=2, 整理得b2=8ac,

綜合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,a,b,c滿足的條件為b2=8acab<0,(b2=8acbc<0).

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