Question

若x為實(shí)數(shù)，且x2+

1

x2

+3(x+

1

x

)=2，則x+

1

x

的值為（　�。�

A．-4

B．4

C．-4或1

D．4或-1

Answer 1

分析：因?yàn)?span id="4kckdht" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2，所以原方程轉(zhuǎn)化為(x+

1

x

)2+3(x+

1

x

)-4=0．只需設(shè)x+

1

x

=t，然后將已知方程轉(zhuǎn)互為關(guān)于t的一元二次方程，通過解該方程來求t的值．

解答：解：由已知方程，得
(x+

1

x

)2-2+3(x+

1

x

)=2，即(x+

1

x

)2+3(x+

1

x

)-4=0．
設(shè)x+

1

x

=t，則t²+3t-4=0，即（t-1）（t+4）=0，
解得t=1或t=-4，
所以x+

1

x

的值為-4或1，
當(dāng)x=1時(shí)，整理后得x²-x+1=0，該方程無實(shí)數(shù)解，即x為任何實(shí)數(shù)時(shí)x+

1

x

=1不成立，
∴x+

1

x

的值為-4，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．換元法是借助引進(jìn)輔助元素，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種解題方法．這種方法在解題過程中，把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代表它，實(shí)行等量替換．這樣做，常能使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，形象直觀．