Question

如圖1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．證明DM=DN；
（2）繼續(xù)旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）繼續(xù)旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？答：

是

（請寫出結論，不用證明．）

Answer 1

分析：（1）連接BD，證明△DMB≌△DNC．根據(jù)已知，全等條件已具備兩個，再證出∠MDB=∠NDC，用ASA證明全等，四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，因為它的面積始終等于△ABC面積的一半；
（2）成立．同樣利用（1）中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC；
（3）結論仍然成立，方法同（1）．

解答：證明：（1）連接BD（1分）
∵AB=BC，∠ABC=90°，點D為AC的中點
∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°（2分）
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC（3分）
在△MDB和△NDC中

∠MBD=∠C BD=CD ∠MDB=∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）（4分）
∴DM=DN（5分）
（2）DM=DN仍然成立．理由如下：連接BD，
由（1）知BD⊥AC，BD=CD
∴∠ABD=∠ACB=45°
∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
∴∠MBD=∠NCD
∵BD⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°（6分）
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC（9分）
在△MDB和△NDC中

∠MBD=∠NCD BD=CD ∠MDB=∠NDC

∴△MDB≌△NDC（ASA）    （11分）
∴DM=DN（12分）
（3）是 （13分）

點評：本題利用ASA求三角形全等，還運用了全等三角形的性質，等腰直角三角形的性質，及等腰三角形三線合一定理，勾股定理和面積公式的利用等知識．