【題目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,如圖1,點P從C出發(fā)向點B運動,點R是射線PB上一點,PR=3CP,過點R作QR⊥BC,且QR=aCP,連接PQ,當(dāng)P點到達(dá)B點時停止運動.設(shè)CP=x,△ABC與△PQR重合部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<x≤ , <x≤m,m<x≤n時,函數(shù)的解析式不同).
(1)a的值為;
(2)求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
【答案】解:(1)由圖2可知,當(dāng)x=時,點Q在線段AB上,且此時的S=,
PR=3CP=,QR=aCP=a,
∵QR⊥BC,
∴S=PRQR=××a=,即27a=108,
解得a=4.
(2)當(dāng)x=時,Q點在線段AB上,如圖3,
∵AC⊥BC,QR⊥BC,
∴AC∥QR,
∴△ABC∽△QBR,
∴
QR=4CP=,PR=3CP=,BR=BC﹣CP﹣PR= ,
AC=QR==3 ..
①當(dāng)點Q在△ACB內(nèi)時,即0<x≤時,如圖1,
PR=3x,QR=4x,
S=PRQR=6x2 .
②當(dāng)點Q在△ACB外且R點在線段CB上時,如圖4,
此時x>,且CR≤BC,
∵CR=CP+PR=4x,
∴<x≤1.
∵
∴△PQR∽△ABC,
∴∠Q=∠B,
∵∠DEQ=∠REB(對頂角),
∴△DEQ∽△REB.
在Rt△ACB中,由勾股定理可知AB==5,
∵AC∥QR,
∴△EBR∽△ABC,
∴
RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x,AC=3,BC=4,
∴RE=3﹣3x.
QE=QR﹣RE=4x﹣(3﹣3x)=7x﹣3.
∵△DEQ∽△REB,△EBR∽△ABC,且AC=3,BC=4,AB=5,
∴DE=QE,QD=QE,QD⊥DE.
S=PRQR﹣QDDE=﹣x2+x﹣.
③當(dāng)點R在線段CB的延長線上時,如圖5,
此時CR=4x>BC=4,得x>1;CP=x≤BC=4.
即1<x≤4.
∵△ABC∽△PQR,
∴∠QPR=∠A,
∵∠PBM=∠ABC,
∴△PBM∽△ABC,
∴PM=PB,MB=PB.
∵PB=BC﹣CP=4﹣x,
∴ S=PMMB=(4﹣x)2=x2﹣x+ .
綜合①②③可得:S=
【解析】(1)由圖2可知當(dāng)x=時S= , 且此時Q點在線段AB上,利用三角形面積公式即可求出a的值;
(2)由Q點和R點的位置,可將整個移動過程分成三部分,借用三角形相似,找個各邊的關(guān)系,分割圖形,既能找出S和x之間的關(guān)系式.
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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A(﹣1,0)、B(3,0)、點C三點.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)點D(2,m)在第一象限的拋物線上,連接BC,BD.試問,在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P,滿足∠PBC=∠DBC?如果存在,請求出點P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)如圖2,在(2)的條件下,將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移,記平移后的三角形為△B′O′C′.在平移過程中,△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S,設(shè)平移的時間為t秒,試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】麒麟?yún)^(qū)第七中學(xué)現(xiàn)有一塊空地ABCD如圖所示,現(xiàn)計劃在空地上種草皮,經(jīng)測量,∠B=90°,AB=3m,BC=4m,CD=13m,AD=12m.
(1)求出空地ABCD的面積?
(2)若每種植1平方米草皮需要300元,問總共需投入多少元?
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【題目】有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,且表示數(shù)a的點、數(shù)b的點與原點的距離相等.
(1)用“>”“<”或“=”填空:b______0,a+b______0,a-c______0,b-c______0;
(2)|b-1|+|a-1|=________;
(3)化簡:|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|.
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【題目】如圖,在下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的是( 。
A. BD=DC,AB=AC B. ∠ADB=∠ADC,BD=DC
C. ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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【題目】已知直線AB∥CD.
(1)如圖1,直接寫出∠ABE,∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,BF,DF分別平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
(3)如圖3,點E在直線BD的右側(cè),BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系 .
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【題目】做如下操作:在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC,交BC于點D.將△ABD作關(guān)于直線AD的軸對稱變換,所得的象與△ACD重合.
對于下列結(jié)論:①在同一個三角形中,等角對等邊;②在同一個三角形中,等邊對等角;
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合.
由上述操作可得出的是 ▲ (將正確結(jié)論的序號都填上).
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,取點D與點E,使得AD=AE,∠BAE=∠CAD,連結(jié)BD與CE交于點O.求證:
(1)△ABD≌△ACE;
(2)OB=OC.
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【題目】△ABC中,AD是BC邊上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動點,則△PQR周長的最小值為
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