【題目】已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線(xiàn)交線(xiàn)段AB(如圖1)或線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)(如圖2)于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),求證:△AQP∽△ABC;
(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),求AP的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:∵PQ⊥AQ,
∴∠AQP=90°=∠ABC,
在△APQ與△ABC中,
∵∠AQP=90°=∠ABC,∠A=∠A,
∴△AQP∽△ABC
(2)解:在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5.
∵∠QPB為鈍角,
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),
(i)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),如題圖1所示.
∵∠QPB為鈍角,
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),只可能是PB=PQ,
由(1)可知,△AQP∽△ABC,
∴ ,即 ,解得:PB= ,
∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ;
(ii)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如題圖2所示.
∵∠QBP為鈍角,
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P,
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,
∴∠AQB=∠A,
∴BQ=AB,
∴AB=BP,點(diǎn)B為線(xiàn)段AP中點(diǎn),
∴AP=2AB=2×3=6.
綜上所述,當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為 或6
【解析】(1)由兩對(duì)角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),證明△AQP∽△ABC;(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),有兩種情況,需要分類(lèi)討論.(i)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),如題圖1所示.由三角形相似(△AQP∽△ABC)關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng);(ii)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系,證明點(diǎn)B為線(xiàn)段AP的中點(diǎn),從而可以求出AP.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng):等邊對(duì)等角);直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一點(diǎn),將Rt△ABC沿CD折疊,使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處,則∠CDB′等于( )
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD,點(diǎn)F為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),△BFC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能與△BEA重合.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) ,旋轉(zhuǎn)角度為 度;
(2)判斷△BEF的形狀為 ;
(3)若∠BFC=90°,說(shuō)明AE∥BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(8分)如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°,求四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】.如圖 1,AB∥CD,直線(xiàn) EF 交 AB 于點(diǎn) E,交 CD 于點(diǎn) F,點(diǎn) G 在 CD 上,點(diǎn) P在直線(xiàn) EF 左側(cè),且在直線(xiàn) AB 和 CD 之間,連接 PE,PG.
(1) 求證: ∠EPG=∠AEP+∠PGC;
(2) 連接 EG,若 EG 平分∠PEF,∠AEP+ ∠ PGE=110°,∠PGC=∠EFC,求∠AEP 的度數(shù).
(3) 如圖 2,若 EF 平分∠PEB,∠PGC 的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與 EF 相交于點(diǎn) H,則∠EPG 與∠EHG之間的數(shù)量關(guān)系為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將1, , , 按下列方式排列.若規(guī)定(m,n)表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù),則(5,4)與(15,2)表示的兩數(shù)之積是 _________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A=2x2+3xy﹣2x﹣1,B=﹣x2+xy﹣1:
(1)求3A+6B;
(2)若3A+6B的值與x無(wú)關(guān),求y的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形ABCD是菱形,AD=5,過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)DH,垂足為H,交對(duì)角線(xiàn)AC于M,連接BM,且AH=3.
(1)求證:DM=BM;
(2)求MH的長(zhǎng);
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線(xiàn)ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)△PMB的面積為S(S≠0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)是否存在這樣的 t值,使∠MPB與∠BCD互為余角,若存在,則求出t值,若不存,在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若x=1,y=,則x2+4xy+4y2的值是( )
A. 2 B. 4 C. 32 D. 12
【答案】B
【解析】解析:x2+4xy+4y2=(x+2y)2==4.故選B.
【題型】單選題
【結(jié)束】
9
【題目】下列因式分解,正確的是( )
A. x2y2-z2=x2(y+z)(y-z) B. -x2y+4xy-5y=-y(x2+4x+5)
C. (x+2)2-9=(x+5)(x-1) D. 9-12a+4a2=-(3-2a)2
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