Question

使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對于函數(shù)，令，可得，我們就說是函數(shù)的零點(diǎn)．請根據(jù)零點(diǎn)的定義解決下列問題：

已知函數(shù)（m為常數(shù)）．

（1）當(dāng)m=0時(shí)，求該函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）證明：無論m取何值，該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn)；

（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，且，此時(shí)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)M在直線上，當(dāng)MA+MB最小時(shí)，求直線AM的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：(1)當(dāng)時(shí)，，    -------1分 

令，即，解得， 

∴當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的零點(diǎn)為和－. 

（2）令，即，       

△=(－2m)²－4[－2(m+3)] =4m²+8m+24△=4(m+1)²+20                             

∵無論m為何值，4(m+1)²≥0，4(m+1)²+20＞0， 即△＞0                                    

∴無論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn).        

（3）依題意有，，，   

由得=－，即=－，

解得m＝1.                                             

因此函數(shù)解析式為y=x²－2x－8，

令y=0，解得x₁=－2，x₂=4，                       

∴A（－2，0），B（4，0），                        

作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B´，連結(jié)AB´，  

則AB´與直線的交點(diǎn)就是滿足條件的M點(diǎn).                 

易求得直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C(10，0)，D(0，－10)，

連結(jié)CB´，則∠BCD=45°，∴BC=CB´=6，∠B´CD=∠BCD=45°，

∴∠BCB´=90°. 即B´（10，-6）.                    ………7分

設(shè)直線AB´的解析式為，則

，解得，.

∴直線AB´的解析式為，

即AM的解析式為.