【題目】關(guān)于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0.
(1)求證:無論k為何值,方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)設(shè)x1,x2是方程(k﹣1)x2+2kx+2=0的兩個(gè)根,記,S的值能為2嗎?若能,求出此時(shí)k的值;若不能,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) k=2
【解析】試題分析:
(1)①當(dāng)k=1時(shí),原方程是一元一次方程,其有解;②當(dāng)時(shí),原方程是一元二次方程,列出“根的判別式的表達(dá)式”,并證明其值為非負(fù)數(shù)即可可得出原方程一定有實(shí)數(shù)根;綜合①②可得結(jié)論;
(2)由原方程有兩根可知:“”,根據(jù)“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”列出“兩根和與兩根積的表達(dá)式”代入S=2中得到關(guān)于“k”的方程,解方程求出“k”的值即可.
試題解析:
(1)①當(dāng)k=1時(shí),原方程可化為2x+2=0,解得:x=﹣1,此時(shí)該方程有實(shí)根;
②當(dāng)k≠1時(shí),方程是一元二次方程,
∵△=(2k)2﹣4(k﹣1)×2
=4k2﹣8k+8
=4(k﹣1)2+4>0,
∴無論k為何實(shí)數(shù),方程總有實(shí)數(shù)根;
綜上所述,無論k為何實(shí)數(shù),方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)∵原方程有兩根實(shí)數(shù)根,
∴原方程為一元二次方程, .
由根與系數(shù)關(guān)系可知, , ,
若S=2,則,即,
將, 代入整理得: ,
解得:k=1(舍)或k=2,
∴S的值能為2,此時(shí)k=2.
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