Question

（2013•杭州一模）如圖，已知tan∠EOF=2，點C在射線OF上，OC=12．點M是∠EOF內一點，MC⊥OF于點C，MC=4．在射線CF上取一點A，連結AM并延長交射線OE于點B，作BD⊥OF于點D．
（1）當AC的長度為多少時，△AMC和△BOD相似；
（2）當點M恰好是線段AB中點時，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；
（3）連結BC．當S_△AMC=S_△BOC時，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似時分兩種情況：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．則兩種情況都可以根據相似三角形對應邊的比相等及tan∠EOF=2列出關于AC的方程，解方程即可求出AC的長度；
（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根據相似三角形對應邊的比相等及三角形中位線的性質求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS證明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根據平行線的性質及三角形內角和定理求出∠ABO=90°，進而得出△ABO為直角三角形；
（3）設OD=a，根據tan∠EOF=2得出BD=2a，由三角形的面積公式求出S_△AMC=2AC，S_△BOC=12a，根據S_△AMC=S_△BOC，得到AC=6a．由△AMC∽△ABD，根據相似三角形對應邊的比相等列出關于a的方程，解方程求出a的值，進而得出AC的長．

解答：解：（1）∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，
∴△AMC和△BOD中，C與D是對應點，
∴△AMC和△BOD相似時分兩種情況：
①當△AMC∽△BOD時，

AC

MC

=

BD

DO

=tan∠EOF=2，
∵MC=4，
∴

AC

4

=2，
解得AC=8；
②當△AMC∽△OBD時，

MC

AC

=

BD

DO

=tan∠EOF=2，
∵MC=4，
∴

4

AC

=2，
解得AC=2．
故當AC的長度為2或8時，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO為直角三角形．理由如下：
∵MC∥BD，
∴△AMC∽△ABD，
∴

MC

BD

=

AM

AB

=

AC

AD

，∠AMC=∠ABD，
∵M為AB中點，
∴C為AD中點，BD=2MC=8．
∵tan∠EOF=2，
∴OD=4，
∴CD=OC-OD=8，
∴AC=CD=8．
在△AMC與△BOD中，

AC=BD=8 ∠ACM=∠BDO=90° CM=DO=4

，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△ABO為直角三角形；

（3）連結BC，設OD=a，則BD=2a．
∵S_△AMC=S_△BOC，S_△AMC=

1

2

•AC•MC=2AC，S_△BOC=

1

2

•OC•BD=12a，
∴2AC=12a，
∴AC=6a．
∵△AMC∽△ABD，
∴

MC

BD

=

AC

AD

，即

4

2a

=

6a

6a+12-a

，
解得a₁=3，a₂=-

4

3

（舍去），
∴AC=6×3=18．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義，三角形的面積，三角形中位線定理，綜合性較強，有一定難度．進行分類討論是解決第一問的關鍵．