【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為20cm,∠ABC120°.動點(diǎn)PQ同時從點(diǎn)A出發(fā),其中P4cm/s的速度,沿ABC的路線向點(diǎn)C運(yùn)動;Q2cm/s的速度,沿AC的路線向點(diǎn)C運(yùn)動.當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時,整個運(yùn)動隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

1)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中,請判斷PQ與對角線AC的位置關(guān)系,并說明理由;

2)若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點(diǎn)N

①當(dāng)t為何值時,點(diǎn)P、M、N在一直線上?

②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時,是否存在這樣的t,使得PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1) 若0t≤5,則AP4t,AQ2t. 則 ==,

∵ AO10,AB20,==.∴ =,

∠CAB30°,∴ △APQ∽△ABO,∴ ∠AQP90°,即PQ⊥AC. ………………4

當(dāng)5﹤t≤10時,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC90°,即PQ⊥AC(考慮一種情況即可)

在點(diǎn)PQ運(yùn)動過程中,始終有PQ⊥AC.

2如圖,在RtAPM中,易知AM=,又AQ2t,

QM204t.

AQQMAM 2t204t

解得t=,當(dāng)t=時,點(diǎn)P、MN在一直線上. …………………………8

存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設(shè)lACH.

如圖1,當(dāng)點(diǎn)NAD上時,若PN⊥MN,則∠NMH30°.

∴ MH2NH,得 204t-=解得t2, …………………10

如圖2,當(dāng)點(diǎn)NCD上時,若PM⊥MN,則∠HMP30°.∴ MH2PH,同理可得t.

故 當(dāng)t2或 時,存在以PN為一直角邊的直角三角形. …………………12

【解析】

1)此問需分兩種情況,當(dāng)0t≤55t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC

2由于點(diǎn)PM、N在一直線上,則AQ+QM=AM,代入求得t的值.

假設(shè)存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形,但是需分點(diǎn)NAD上時和點(diǎn)NCD上時兩種情況分別討論.

解答:解:(1)若0t≤5,則AP=4t,AQ=2t

==

∵AO=10AB=20,==

=.又∠CAB=30°∴△APQ∽△ABO

∴∠AQP=90°,即PQ⊥AC

當(dāng)5t≤10時,同理,可由△PCQ∽△BCO∠PQC=90°,即PQ⊥AC

在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中,始終有PQ⊥AC

2如圖,在Rt△APM中,∵∠PAM=30°,AP=4t

∴AM=

△APQ中,∠AQP=90°,

∴AQ=AP?cos30°=2t

∴QM=AC-2AQ=20-4t

AQ+QM=AM得:2t+20-4

t=,

解得t=

當(dāng)t=時,點(diǎn)PM、N在一直線上.

存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設(shè)lACH

如圖1,當(dāng)點(diǎn)NAD上時,若PN⊥MN,則∠NMH=30°

∴MH=2NH.得20-4t-t=2×,解得t=2

如圖2,當(dāng)點(diǎn)NCD上時,若PM⊥PN,則∠HMP=30°

∴MH=2PH,同理可得t=

故當(dāng)t=2時,存在以PN為一直角邊的直角三角形.

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②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、A′、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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