Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），聯(lián)結(jié)AB、AC．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，如果，求tan∠DBC的值；

（3）如果點(diǎn)E在該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，當(dāng)AC平分∠BAE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）E（2，）

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式，即可得到答案；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，利用面積的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；

（3）延長AE至x軸，與x軸交于點(diǎn)F，先證明△OAB∽△OFA，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出直線AF的方程，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

解：（1）將A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，

解得，

∴此拋物線的表達(dá)式是：．

（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，

在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，則，

又∵DH//y軸，

∴．

∵OA=OC=3，則∠ACO=45°，

∴△CDH為等腰直角三角形，

∴．

∴．

∴tan∠DBC=.

（3）延長AE至x軸，與x軸交于點(diǎn)F，

∵OA=OC=3，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，

∵∠BAC=∠FAC，

∴∠OAB=∠OFA．

∴△OAB∽△OFA，

∴．

∴OF=9，即F（9，0）；

設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b（k≠0），

可得 ，解得，

∴直線AF的解析式為：，

將x=2代入直線AF的解析式得：，

∴E（2，）.