Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P異于C、D兩點(diǎn)）。連接PM，過(guò)點(diǎn)P作PM的垂線與射線DA相交于點(diǎn)E（如圖）。設(shè)CP=x，DE=y。

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 ▲ ；

（2）若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則x的值為 ▲ ；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=－x2＋4x（2）或（3）存在，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上

【解析】

解：（1）y=－x2＋4x。

（2）或。

（3）存在。

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H。

則

∵點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上，

∴P D′=PD=4－x，E D′="ED=" y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。

在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。

∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，

∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，

即，兩邊平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。

∵當(dāng)時(shí)，y=，

∴此時(shí)，點(diǎn)E已在邊DA延長(zhǎng)線上，不合題意，舍去（實(shí)際上是無(wú)理方程的增根）。

∵當(dāng)時(shí)，y=，

∴此時(shí)，點(diǎn)E在邊AD上，符合題意。

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上。

（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，

∴，即。∴y=－x2＋4x。

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。

解得。

（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則由點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上，可得△E D′A與△D′P H相似，由對(duì)應(yīng)邊成比例得得關(guān)于x的方程即可求解。注意檢驗(yàn)。