【題目】如圖,ABO的直徑,AC是弦,直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,ADEF于點(diǎn)D,DAC=BAC.

(1)求證:EFO的切線;

(2)求證:AC2=AD·AB

(3)若O的半徑為2,ACD=300,求圖中陰影部分的面積.

【答案】解:(1)證明:連接OC,

OA=OC,∴∠BAC=OCA。

∵∠DAC=BAC,∴∠OCA=DAC。OCAD。

ADEF,OCEF。

OC為半徑,EF是O的切線。

(2)證明:AB為O直徑,ADEF,

∴∠BCA=ADC=90°。

∵∠DAC=BAC,∴△ACB∽△ADC。

AC2=ADAB。

(3)∵∠ACD=30°,OCD=90°,∴∠OCA=60°.

OC=OA,∴△OAC是等邊三角形。AC=OA=OC=2,AOC=60°。

在RtACD中,AD=AC=1。

由勾股定理得:DC=,

陰影部分的面積是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×(2+1)×

【解析】

試題(1)連接OC,根據(jù)OA=OC推出BAC=OCA=DAC,推出OCAD,得出OCEF,根據(jù)切線的判定推出即可。

(2)證ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案。

(3)求出等邊三角形OAC,求出AC、AOC,在RtACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形OCA的面積,相減即可得出答案。

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