【題目】如圖,點A在直線l上,點Q沿著直線l以3厘米/秒的速度由點A向右運動,以AQ為邊作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,tan∠ABQ= ,點C在點Q右側(cè),CQ=1厘米,過點C作直線m⊥l,過△ABQ的外接圓圓心O作OD⊥m于點D,交AB右側(cè)的圓弧于點E.在射線CD上取點F,使DF= CD,以DE、DF為鄰邊作矩形DEGF.設(shè)運動時間為t秒.

(1)直接用含t的代數(shù)式表示BQ、DF;
(2)當0<t<1時,求矩形DEGF的最大面積;
(3)點Q在整個運動過程中,當矩形DEGF為正方形時,求t的值.

【答案】
(1)解:∵點Q沿著直線l以3厘米/秒的速度由點A向右運動,運動時間為t秒.

∴AQ=3t,

∵∠BAQ=90°,tan∠ABQ= = ,

∴AB=4t,

∴BQ= =5t,

作OM⊥AQ于M,則AM=QM= AQ=1.5t,CD=OM,

∴OM是△ABQ的中位線,

∴CD=OM= AB=2t,

∴DF= CD= t


(2)解:設(shè)矩形DEGF的面積為S,

∵OE=OB= BQ= t,OD=QM+CQ= t+1,

∴DE=OD﹣OE= t+1﹣ t=1﹣t,

,

∴當t= 時,矩形DEGF的最大面積為


(3)解:當矩形DEGF為正方形時,則DE=DF,分兩種情況:

①當0<t<1時,如圖1所示:

DE=1﹣t,

∴1﹣t= t,

解得:t=

②當t≥1時,如圖2所示:

DE=t﹣1,

∴t﹣1= t,

解得:t=3;

綜上所述:當矩形DEGF為正方形時,t的值為 或3.


【解析】(1)由已知得出AQ=3t,由三角函數(shù)求出AB=4t,再由勾股定理求出BQ= 5t,作OM⊥AQ于M,則AM=QM= AQ=1.5t,CD=OM,由三角形的中位線定理得出CD=OM= AB=2t,進而得出結(jié)論;
(2)設(shè)矩形DEGF的面積為S,OE= t,OD=QM+CQ= t+1,

∴DE=OD﹣OE= t+1﹣ t=1﹣t,由矩形的面積得出s是t的二次函數(shù),即可得出答案;
(3)當矩形DEGF為正方形時,則DE=DF,分兩種情況:①當0<t<1時,如圖1所示得出方程,解方程即可;②當t≥1時,如圖2所示:DE=t﹣1,得出方程,解方程即可。

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識,掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a,以及對勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

練習冊系列答案
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,

,

,

1)由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想,得到(a1)(a2014+a2013+a2012++a2+a+1)=   

利用上面的結(jié)論,求:

222014+22013+22012++22+2+1的值是   

3)求52014+52013+52012++52+5+1的值.

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1)請用兩種不同方法,求圖2中陰影部分的面積(不用化簡)

方法1____________________

方法2____________________

2)觀察圖2,寫出,之間的等量關(guān)系,并驗證;

3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:

①若,,求的值;

②若,求的值.

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