Question

【題目】已知點A（0，4），B（7，0），C（7，4），連接AC，BC得到矩形AOBC，點D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點A的對應點為A'．若點A'到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3，則點A'的坐標為__．

Answer 1

【答案】（，3）或（，1）或（2，﹣2）

【解析】

由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=7，分兩種情況：

（1）當點A'在矩形AOBC的內部時，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，當A'E：A'F=1：3時，求出A'E=1，A'F=3，由折疊的性質得：OA'=OA=4，∠OA'D=∠A=90°，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF=，即可得出答案；

②當A'E：A'F=3：1時，同理得：A'（，1）；

（2）當點A'在矩形AOBC的外部時，此時點A'在第四象限，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，由A'F：A'E=1：3，則A'F：EF=1：2，求出A'F=EF=BC=2，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF=2，即可得出答案．

解：∵點A（0，4），B（7，0），C（7，4），

∴BC＝OA＝4，OB＝AC＝7，

分兩種情況：

（1）當點A'在矩形AOBC的內部時，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖1所示：

①當A'E：A'F＝1：3時，

∵A'E+A'F＝BC＝4，

∴A'E＝1，A'F＝3，

由折疊的性質得：OA'＝OA＝4，

在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝，

∴A'（，3）；

②當A'E：A'F＝3：1時，同理得：A'（，1）；

（2）當點A'在矩形AOBC的外部時，此時點A'在第四象限，過A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖2所示：∵A'F：A'E＝1：3，則A'F：EF＝1：2，

∴A'F＝EF＝BC＝2，

由折疊的性質得：OA'＝OA＝4，

在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝＝2，

∴A'（2，﹣2）；

故答案為：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．