如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線交y軸于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．直線y=x-1交拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，過線段MN上一點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）問點(diǎn)P在何處時(shí)，線段PQ最長(zhǎng)，最長(zhǎng)為多少；
（3）設(shè)E為線段OC上的三等分點(diǎn)，連接EP，EQ，若EP=EQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），由題意，得
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
，
解得：
a=-1
b=2
c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3，
∴y=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）；

（2）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q的橫坐標(biāo)相同，
∵P點(diǎn)在直線y=x-1上，設(shè)P（a，a-1），則Q（a，-a2+2a+3），
∴PQ=-a2+2a+3-a+1=-a2+a+4，
∴PQ=-（a-
1
2
）2+
17
4
，
∴當(dāng)a=
1
2
時(shí)，線段PQ最長(zhǎng)為
17
4
，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（
1
2
，-
1
2
）；

（3）∵E為線段OC上的三等分點(diǎn)，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
設(shè)P（p，p-1）（在y=x-1上），則Q（p，-p2+2p+3）．
當(dāng)E（0，1）時(shí)，
∵EP=EQ，
∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-1）2，
∴p2+（p-2）2=p2+（p2-2p-2）2，
（p-2）2=（p2-2p-2）2，
①當(dāng) p2-2p-2=p-2時(shí)，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
當(dāng)p=0，P（0，-1），Q（0，3），
當(dāng)p=3，P（3，2），Q（3，0），
過線段MN上一點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q．
∵直線y=x-1交拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得：x1=
1-
17
2
，x2=
1+
17
2
，
M的橫坐標(biāo)為
1-
17
2
，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1+
17
2
，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)：大于等于
1-
17
2
小于等于
1+
17
2
，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p2-2p-2=-p+2，
整理得：p2-p-4=0，
解得：P1=
1-
17
2
，p2=
1+
17
2
，
∵直線y=x-1交拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得：x1=
1-
17
2
，x2=
1+
17
2
，
M的橫坐標(biāo)為
1-
17
2
，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1+
17
2
，
∵過線段MN上一點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q．
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)：大于等于
1-
17
2
小于等于
1+
17
2
，
當(dāng)E（0，2）時(shí)，
∵EP=EQ，
∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-2）2，
p2+（p-3）2=p2+（p2-2p-1）2，
∴（p-3）2=（p2-2p-1）2．
③當(dāng) p2-2p-1=p-3時(shí)，
∴（p-1）（p-2）=0
∴p=1或2．
當(dāng)p=1時(shí)，P（1，0），Q（1，4）
當(dāng)p=2時(shí)，P（2，1），Q（2，3）
④p2-2p-1=-p+3
p2-p-4=0，
解得：P1=
1-
17
2
＜-1，p2=
1+
17
2
＞2，
P（
1-
17
2
，
-
17
-1
2
）或（
1+
17
2
，
17
-1
2
）．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（
1-
17
2
，
-
17
-1
2
）或（
1+
17
2
，
17
-1
2
）．
∵點(diǎn)P在線段MN上，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=
1
2
x2+mx+n（n≠0）與直線y=x交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OB，BC∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的上方），DE=
2
，過D、E兩點(diǎn)分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，四邊形DEGF的面積為y，求x與y之間的關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并回答x為何值時(shí)，y有最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，4），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，連接OA．
（1）求△OAB的面積；
（2）若拋物線y=-x2-2x+c經(jīng)過點(diǎn)A．
①求c的值；
②將該拋物線向下平移m個(gè)單位，使頂點(diǎn)落在線段AO上，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的m值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A、B、C三點(diǎn)
（1）觀察圖象寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出二次函數(shù)的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

有一個(gè)拋物線形拱橋，其最大高度為16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)系中如圖，求拋物線的解析式是______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求∠DAB的度數(shù)及A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對(duì)稱軸L；
（3）若P是拋物線的對(duì)稱軸L上的點(diǎn)，那么使△PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個(gè)？（不必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說(shuō)明理由）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1．
（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

用長(zhǎng)度為20m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為2xm．當(dāng)該金屬框圍成的圖形面積最大時(shí)，圖形中矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)各為多少？請(qǐng)求出金屬框圍成的圖形的最大面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

一座隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8m，寬為2m，隧道最高點(diǎn)P位于AB的中央且距地面6m，建立如圖所示的坐標(biāo)系：
（1）求拋物線的解析式；
（2）一輛貨車高4m，寬2m，能否從該隧道內(nèi)通過，為什么？
（3）如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨車是否可以順利通過，為什么？

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