【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),連接DE,DE的延長線與邊BC相交于點(diǎn)F,AG∥BC,交DE于點(diǎn)G,連接AF、CG.
(1)求證:AF=BF;
(2)如果AB=AC,求證:四邊形AFCG是正方形.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得AF=CF,再根據(jù)等角的余角相等可得∠B=∠BAF,所以AF=BF.
(2)由AAS可證△AEG≌△CEF,所以AG=CF.由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCG是平行四邊形,進(jìn)而證得四邊形AFCG是菱形,最后根據(jù)有一個(gè)角為直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形.
證明 (1)∵AD=CD,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),
∴DE⊥AC.
即得DE是線段AC的垂直平分線.
∴AF=CF.
∴∠FAC=∠ACB.
在Rt△ABC中,由∠BAC=90°,
得∠B+∠ACB=90°,∠FAC+∠BAF=90°.
∴∠B=∠BAF.
∴AF=BF.
(2)∵AG∥CF,
∴∠AGE=∠CFE.
又∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),
∴AE=CE.
在△AEG和△CEF中,
∴△AEG≌△CEF(AAS).
∴AG=CF.
又∵AG∥CF,
∴四邊形AFCG是平行四邊形.
∵AF=CF,
∴四邊形AFCG是菱形.
在Rt△ABC中,由AF=CF,AF=BF,得BF=CF.
即得點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn).
又∵AB=AC,
∴AF⊥BC.即得∠AFC=90°.
∴四邊形AFCG是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正整數(shù)至按照一定規(guī)律排成下表:
…… |
記表示第行第個(gè)數(shù),如表示第行第個(gè)數(shù)是.
(1)直接寫出_______________,_______________;
(2)①如果,那么_________________,________;②用,表示__________;
(3)將表格中的個(gè)陰影格子看成一個(gè)整體并平移,所覆蓋的個(gè)數(shù)之和能否等于.若能,求出這個(gè)數(shù)中的最小數(shù),若不能說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3.
(1)求函數(shù)圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo),并畫出函數(shù)的大致圖象;
(2)根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí),自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某窗戶的形狀如圖所示(圖中長度單位:cm),其中上部是半徑為xcm的半圓形,下部是寬為ycm的長方形.
(1)用含x,y的式子表示窗戶的面積S;
(2)當(dāng)x=40,y=120時(shí),求窗戶的面積S.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,這是某市部分簡圖,為了確定各建筑物的位置:
(1)請你以火車站為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,若以小方格的邊長為單位長度,寫出市場的坐標(biāo)為_______;超市的坐標(biāo)為_____________.
(2)請將體育場為A、賓館為C和火車站為B看作三點(diǎn)用線段連起來,得△ABC,然后將△ABC向下平移4個(gè)單位長度,畫出平移后的,寫出的坐標(biāo).
(3)求出的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).
(1)如圖1,BE的延長線與AC邊相交于點(diǎn)D,求證:EF=(AC﹣AB);
(2)如圖2,請直接寫出線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店銷售甲、乙兩種羽毛球,已知甲種羽毛球每筒售價(jià)比乙種羽毛球每筒的售價(jià)多15元,健民體育活動(dòng)中心從該網(wǎng)店購買了2筒甲種羽毛球和3筒乙種羽毛球,共花費(fèi)255元.
(1)該網(wǎng)店甲、乙兩種羽毛球每筒的售價(jià)各是多少元?
(2)根據(jù)健民體育活動(dòng)中心消費(fèi)者的需求量,活動(dòng)中心決定用不超過2625元錢購進(jìn)甲、乙兩種羽毛球共50筒,那么最多可以購進(jìn)多少筒甲種羽毛球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位長度,在向下平移5個(gè)單位長度,得到A’;將點(diǎn)B先向下平移5個(gè)單位長度,再向右平移4個(gè)單位長度,得到B’,則A’與B’相距( )
A. 4個(gè)單位長度 B. 5個(gè)單位長度 C. 6個(gè)單位長度 D. 7個(gè)單位長度
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(﹣7,1),B(1,1),C(1,7).線段DE的端點(diǎn)坐標(biāo)是D(7,﹣1),E(﹣1,﹣7).
(1)試說明如何平移線段AC,使其與線段ED重合;
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AC的對應(yīng)邊為DE,請直接寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)畫出(2)中的△DEF,并和△ABC同時(shí)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
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