【題目】定義:如圖1,點C在線段AB上,若滿足AC2=BCAB,則稱點C為線段AB的黃金分割點.如圖2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D.
(1)求證:點D是線段AC的黃金分割點;
(2)求出線段AD的長.

【答案】(1)證明:∵AB=AC=1,
∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,
∵BD平分∠ABC交AC于點D,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴DA=DB,BD=BC,
∴AD=BD=BC,
易得△BDC∽△ABC,
∴BC:AC=CD:BC,即BC2=CDAC,
∴AD2=CDAC,
∴點D是線段AC的黃金分割點;
(2)設(shè)AD=x,則CD=AC﹣AD=1﹣x,
∵AD2=CDAC,
∴x2=1﹣x,解得x1=,x2=-
即AD的長為
【解析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠ABC=∠C=72°,∠ABD=∠CBD=36°,∠BDC=72°,則可得到AD=BD=BC,然后根據(jù)相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC,利用相似比得到BC2=CDAC,于是有AD2=CDAC,則可根據(jù)線段黃金分割點的定義得到結(jié)論;
(2)設(shè)AD=x,則CD=AC﹣AD=1﹣x,由(1)的結(jié)論得到x2=1﹣x,然后解方程即可得到AD的長.
【考點精析】關(guān)于本題考查的黃金分割,需要了解把線段AB分成兩條線段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中項,叫做把線段AB黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,其中AC=0.618AB才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】觀察下列等式:
第1個等式:a1= = ﹣1,
第2個等式:a2= = ,
第3個等式:a3= =2﹣ ,
第4個等式:a4= = ﹣2,
按上述規(guī)律,回答以下問題:
(1)請寫出第n個等式:an=
(2)a1+a2+a3+…+an=

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【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.
(1)將△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△A1B1C1 , 畫出△A1B1C1并直接寫出點C1的坐標(biāo)為多少?
(2)以原點O為位似中心,在第四象限畫一個△A2B2C2 , 使它與△ABC位似,并且△A2B2C2與△ABC的相似比為2:1.

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【題目】如圖,在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中,是相似三角形的是( 。
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④

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【題目】已知:在RtABC中∠C=90°,CDAB邊上的高. 求證:Rt△ADCRtCDB

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了預(yù)防流感,某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比例,藥物燃燒后,y與x成反比例(如圖),現(xiàn)測藥物8分鐘燃畢,此時空氣中每立方米含藥量為6毫克,請根據(jù)題中所提供的信息,回答下列問題

(1)藥物燃燒時,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,自變量x的取值范圍是;藥物燃燒完后,y與x的函數(shù)關(guān)系式為;
(2)研究表明,當(dāng)空氣中的每立方米的含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從消毒開始,至少需要經(jīng)過幾分鐘后,學(xué)生才能回到教室;
(3)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時,才能有效地殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效?為什么?

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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分別以點A,B為圓心,大于線段AB長度一半的長為半徑作弧,相交于點E,F(xiàn),過點E,F(xiàn)作直線EF,交AB于點D,連結(jié)CD,則CD的長是

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【題目】如圖1,對稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過B(2,0)、C(0,4)兩點,拋物線與x軸的另一交點為A

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點,設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;
(3)如圖2,若M是線段BC上一動點,在x軸是否存在這樣的點Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.

(1)求該拋物線的解析式,并用配方法把解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若點H(1,y)在BC上,連接FH,求△FHB的面積;
(3)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),在點M的運動過程中,當(dāng)t為何值時,∠OMB=90°?
(4)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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