【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且AD=CD,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.

【答案】
(1)解:如圖1中,

∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD為等腰三 角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割線


(2)解:①當AD=CD時,如圖2,

∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

②當AD=AC時,如圖3中,∠ACD=∠ADC=(180°-48°)÷2=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.

當AC=CD時,如圖4中,

∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍棄,∴∠ACB=96°或114°


(3)解:由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴ 設BD=x,∴ ),∵x>0,∴x= ,∵△BCD∽△BAC,∴ = ,∴CD= ×2=

【解析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線性質(zhì),得到△ABC不是等腰三角形,△ACD為等腰三角形,△BCD∽△BAC,得到CD是△ABC的完美分割線;(2)由CD是△ABC的完美分割線,∠A=48°,AD=CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),求出∠ACB的度數(shù).
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應用的相關(guān)知識,掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.

練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】兩個多位正整數(shù),若它們各數(shù)位上的數(shù)字之和相等,則稱這兩個多位數(shù)互為“調(diào)和數(shù)”.例如:4976,因為4+9=7+6=13,所以4976互為“調(diào)和數(shù)”;又如:22518,因為2+2+5=1+8=9,所以22518互為“調(diào)和數(shù)”.

1362________互為“調(diào)和數(shù)”(寫出一個即可);

2)若兩位數(shù)75是一對“調(diào)和數(shù)”,且的十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍,求的值.

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【題目】計算:

(1)

(2);

(3);

(4);

(5)(2

(6);

(7)()();

(8);

(9);

(10)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖某幢大樓頂部有廣告牌CD.張老師目高MA為1.60米,他站立在離大樓45米的A處測得大樓頂端點D的仰角為30°;接著他向大樓前進14米、站在點B處,測得廣告牌頂端點C的仰角為45°.(取 ,計算結(jié)果保留一位小數(shù))

(1)求這幢大樓的高DH;
(2)求這塊廣告牌CD的高度.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,ABCDO,OE⊥AB

1)若∠EOD=20°,求∠AOC的度數(shù);

2)若∠AOC∠BOC=12,求∠EOD的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,ADBC,∠ABD=30°,ABADDCBC于點C,若BD=2,求CD的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A1B1C1、A2B2C2、A3B3C3、AnBnn均為等腰直角三角形,且∠C1=∠C2=∠C3=∠n90°,點A1、A2A3、An和點B1、B2、B3、、Bn分別在正比例函數(shù)yxy=﹣x的圖象上,且點A1、A2、A3、An的橫坐標分別為12,3…n,線段A1B1、A2B2A3B3、AnBn均與y軸平行.按照圖中所反映的規(guī)律,則AnBnn的頂點n的坐標是_____;線段C2018C2019的長是_____.(其中n為正整數(shù))

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,有一張△ABC紙片,AC=8,∠C=30°,點E在AC邊上,點D在邊AB上,沿著DE對折, 使點A落在BC邊上的點F處,則CE的最大值為( )

A.
B.
C.4
D.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中,P、Q分別是BCAC上的點,作PR⊥ABPS⊥AC,垂足分別是R、S,若AQ=PQ,PR=PS,下面四個結(jié)論:①AS=AR;②QP∥AR③△BRP≌△QSP;④AP垂直平分RS.其中正確結(jié)論的序號是 (請將所有正確結(jié)論的序號都填上).

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