Question

作圖、證明與計(jì)算
如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，E為BC中點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1）畫AD∥BC（D為格點(diǎn)），連接CD；
（2）判斷四邊形ABCD的形狀；
（3）求sin∠ADC的值和tan∠CAE的值；
（4）求△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑（保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目要求結(jié)合網(wǎng)格畫圖即可；
（2）根據(jù)勾股定理求得BC=AD．則由“有一組對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”得到四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）在網(wǎng)格中利用直角三角形，先求BC²，AB²，AC²的值，再比較列出等式，判斷直角三角形；把問題轉(zhuǎn)化到Rt△ACF，Rt△ADC中，利用三角函數(shù)的定義解題；
（4）直角三角形的內(nèi)切圓半徑和其三邊有特殊關(guān)系：三邊中a b為直角邊，c為斜邊，內(nèi)切圓半徑為r，則r=

1

2

；外接圓的半徑就是斜邊的一半．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形．理由如下：
根據(jù)勾股定理得到BC=AD=

42+32

=5．
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）由圖象可知AB²=1²+2²=5，AC²=2²+4²=20，BC²=3²+4²=25，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠CAB=90°，即△ABC是直角三角形．
∵BG∥AF，F(xiàn)為CG的中點(diǎn)，
∴BC的中點(diǎn)E在線段AF上，
由圖象可知CD=

5

，AD=5，
∴sin∠CAD=

CD

AD

=

5

5

，tan∠CAE=tan∠CAF=

2

4

=

1

2

；

（4）由（1）知，BC=5，且由（3）知，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，則△ABC的外接圓半徑=

BC

2

=

5

2

；
如圖，根據(jù)勾股定理得到AB=

5

，AC=2

5

，BC=5，則△ABC的內(nèi)切圓半徑=

1

2

×（AB+AC-BC）=

3 5 -5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題時(shí)，充分利用了勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是運(yùn)用網(wǎng)格表示線段的長度．