Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的一邊AB在x軸上,∠ABC=90°,點(diǎn)C(4,8)在第一象限內(nèi),AC與y軸交于點(diǎn)E,拋物線y= +bx+c經(jīng)過(guò)A. B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D(0,6).

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的表達(dá)式；

(2)求ED的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△PAC的面積為S，試求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；

(4)若點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，拋物線上是否存在點(diǎn)N，使∠CAN=∠MAN.若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）DE=+6=；（3）S= (2<m<4)；（4）N點(diǎn)坐標(biāo)為( );( )

【解析】

（1）先確定B（4，0），再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為

（2）先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y= ，則可確定E（0， ），然后計(jì)算DE的長(zhǎng)；

（3）如圖1，作PQ∥y軸交AC于Q，設(shè)P（m，-6），則Q（m，），則PQ=-，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ計(jì)算即可；

（4）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，則F（4，3），接著求出直線AF的解析式為y=x+1，于是通過(guò)解方程組 得N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）；當(dāng)點(diǎn)M′在x的負(fù)半軸上時(shí)，AN′交y軸與G，先在證明Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下來(lái)利用待定系數(shù)法求出直線AG的解析式為y=-2x-4，然后解方程組 得N的坐標(biāo)．

(1)∵BC⊥x軸,點(diǎn)C(4,8)，

∴B(4,0)，

把B(4,0),C(0,6)代入y=+bx+c得 ,解得 ，

∴拋物線解析式為；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，

把A(2,0),C(4,8)代入得 ,解得 ，

∴直線AC的解析式為y=，

當(dāng)x=0時(shí),y== ,則E(0, )，

∴DE=+6= ；

(3)如圖1,作PQ∥y軸交AC于Q，

設(shè)P（m，-6），則Q（m，），

∴PQ=-，

∴S=S△PAQ+S△PCQ=6PQ= (2<m<4)；

(4)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在x的正半軸,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,則FH=FB,

易得AH=AB=6，

∵AC== =10，

∴CH=106=4，

∵cos∠ACB= ，

∴CF= =5，

∴F(4,3)，

易得直線AF的解析式為y= x+1，

解方程組得 或 ，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為()；

當(dāng)點(diǎn)M′在x的負(fù)半軸上時(shí),AN′交y軸與G，

∵∠CAN′=∠M′AN′，

∴∠KAM′=∠CAK，

而∠CAN=∠MAN，

∴∠KAC+∠CAN=90°，

而∠MAN+∠AFB=90°，

∴∠KAC=∠AFB，

而∠KAM′=∠GAO，

∴∠GAO=∠AFB，

∴Rt△OAG∽Rt△BFA，

∴ ,即 ，解得OG=4，

∴G(0,4)，

易得直線AG的解析式為y=2x4，

解方程組得或 ，

∴N′的坐標(biāo)為()，

綜上所述,滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為( );( )