規(guī)定三角形的三條內(nèi)角平分線的交點叫三角形的內(nèi)心.
(1)已知I為三角形ABC的內(nèi)心,連接AI交三角形ABC的外接圓于點D,如圖所示,連接BD和CD,求證:BD=CD=ID.
(2)己知三角形ABC,AD平分∠BAC且與它的外接圓交于點D,在線段AD上有一點I滿足BD=ID.試問點I是否是三角形ABC的內(nèi)心?若是加以證明;若不是,說明理由.

(1)證明:

連接BI,
∵I是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAD=∠DAC,∠ABI=∠CBI,
∴弧BD=弧DC,
∴BD=DC,
∵∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI+∠DBC,
∵∠CAD=∠BAD=∠DBC,
∴∠DBI=∠BID,
∴BD=DI,
∴BD=CD=ID.

(2)答:I是三角形ABC的內(nèi)心.
證明:連接BI,
∵∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI+∠DBC,BD=ID,
∴∠BID=∠IBD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=∠DBC,
∴∠ABI=∠CBI=∠BID-∠BAI,
∴∠ABI=∠CBI,
即I在∠ABC的平分線上,
即I是∠BAC何∠ABC的平分線的交點,
∴I也在∠ACB的角平分線上,
即I是三角形ABC的內(nèi)心.
分析:(1)連接BI,根據(jù)三角形的內(nèi)切圓的意義和圓周角定理得到BD=DC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠IBD=∠BID,根據(jù)等腰三角形的判定求出BD=ID即可;
(2)連接BI,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BID=∠IBD,推出∠ABI=∠CBI,得出I是∠BAC何∠ABC的平分線的交點即可.
點評:本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的外角性質(zhì),圓周角定理,圓心角、弧、弦之間關(guān)系等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

15、規(guī)定三角形的三條內(nèi)角平分線的交點叫三角形的內(nèi)心.
(1)已知I為三角形ABC的內(nèi)心,連接AI交三角形ABC的外接圓于點D,如圖所示,連接BD和CD,求證:BD=CD=ID.

(2)己知三角形ABC,AD平分∠BAC且與它的外接圓交于點D,在線段AD上有一點I滿足BD=ID.試問點I是否是三角形ABC的內(nèi)心?若是加以證明;若不是,說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2006年浙江省寧波市北侖中學保送生招生數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

規(guī)定三角形的三條內(nèi)角平分線的交點叫三角形的內(nèi)心.
(1)已知I為三角形ABC的內(nèi)心,連接AI交三角形ABC的外接圓于點D,如圖所示,連接BD和CD,求證:BD=CD=ID.
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