Question

如圖，若把邊長為1的正方形ABCD的四個角上全等的四個三角形(陰影部分)剪掉，得一四邊形A₁B₁C₁D₁．試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原正方形面積的？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解　　因為在正方形ABCD中， 　　AB＝BC＝CD＝DA＝1， 　　∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝， 　　AA1＝BB1＝CC1＝DD1， 　　所以　　A1B＝B1C＝C1D＝D1A， 　　△AA1D1≌△BB1A1≌CC1B1≌DD1C1， 　　從而　　D1A1＝A1B1＝B1C1＝C1D1， 　　∠AD1A1＝∠BA1B1＝∠CB1C1＝∠DC1D1， 　　∠AA1D1＋∠BA1B1＝， 　　即　　∠D1A1B1＝， 　　所以四邊形A1B1C1D1為正方形． 　　設(shè)AA1＝x．則AD1＝1－x，因為正方形A1B1C1D1的面積為，所以△AA1D1的面積為，得 　　x(1－x)＝， 　　整理得　　9x2－9x＋2＝0， 　　解得　　x1＝，x2＝． 　　當(dāng)AA1＝時，AD1＝； 　　當(dāng)AA1＝時，AD1＝． 　　所以當(dāng)AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝或時，剪得的四邊形A1B1C1D1仍為正方形，且面積是原面積的． 　　分析　　要使四邊形A1B1C1D1是正方形，則必需有△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1從而可得AD1＝A1B．設(shè)AA1為x，則AD1為1－x．因為正方形A1B1C1D1的面積為，所以△AA1D1的面積為．利用面積公式求出x，從而解決問題．