Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有，為原點(diǎn)，，，將此三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，拋物線過(guò)三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，求的值；

（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)使得為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；點(diǎn)；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，進(jìn)行配成頂點(diǎn)式即可寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將直線與拋物線聯(lián)立，通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系得到，，再通過(guò)得出，通過(guò)變形得出代入即可求出的值；

（3）分：， ， 三種情況分別利用勾股定理進(jìn)行討論即可．

（1）∵，，

∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，

將點(diǎn)A,B代入拋物線中得

解得

∴此拋物線的解析式為：

∵；

∴點(diǎn)

（2）直線：與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

交拋物線于，，

由得：

∴，

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

（3）存在，或，，

∴

設(shè)點(diǎn)

，

若，則

即

∴或

若，則

即

∴

若，則

即

∴

即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).