【題目】如圖,平面直角坐標系中,四邊形OABC為矩形,點A,B的坐標分別為(4,0),(4,3),動點M,N分別從O,B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運動.其中,點M沿OA向終點A運動,點N沿BC向終點C運動.過點M作MPOA,交AC于P,連接NP,已知動點運動了x秒.

(1)P點的坐標為多少(用含x的代數(shù)式表示);

(2)試求NPC面積S的表達式,并求出面積S的最大值及相應的x值;

(3)當x為何值時,NPC是一個等腰三角形?簡要說明理由.

【答案】(1)P點坐標為(x,3x).

(2)S的最大值為,此時x=2.

(3)x=,或x=,或x=

【解析】

試題分析:(1)求P點的坐標,也就是求OM和PM的長,已知了OM的長為x,關鍵是求出PM的長,方法不唯一,可通過PMOC得出的對應成比例線段來求;

也可延長MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和ACB的正切值求出PQ的長,然后根據(jù)PM=ABPQ來求出PM的長.得出OM和PM的長,即可求出P點的坐標.

(2)可按(1)中的方法經(jīng)求出PQ的長,而CN的長可根據(jù)CN=BCBN來求得,因此根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S,x的函數(shù)關系式.

(3)本題要分類討論:

當CP=CN時,可在直角三角形CPQ中,用CQ的長即x和ABC的余弦值求出CP的表達式,然后聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值;

當CP=PN時,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長,然后根據(jù)QN=CNCQ求出QN的表達式,根據(jù)題設的等量條件即可得出x的值.

當CN=PN時,先求出QP和QN的長,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的長,聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值.

試題解析:(1)過點P作PQBC于點Q,

有題意可得:PQAB,

∴△CQP∽△CBA,

解得:QP=x,

PM=3x,

由題意可知,C(0,3),M(x,0),N(4x,3),

P點坐標為(x,3x).

(2)設NPC的面積為S,在NPC中,NC=4x,

NC邊上的高為,其中,0x4.

S=(4x)×x=x2+4x)

=(x2)2+

S的最大值為,此時x=2.

(3)延長MP交CB于Q,則有PQBC.

若NP=CP,

PQBC,

NQ=CQ=x.

3x=4,

x=

若CP=CN,則CN=4x,PQ=x,CP=x,4x=x,

x=;

若CN=NP,則CN=4x.

PQ=x,NQ=42x,

在RtPNQ中,PN2=NQ2+PQ2,

(4x)2=(42x)2+(x)2,

x=

綜上所述,x=,或x=,或x=

練習冊系列答案
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