如圖,正方形ABCD中,有一直徑為BC的半圓,BC=2厘米,現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F,分別從點(diǎn)B,點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),點(diǎn)E沿線段BA以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F沿折線A-D-C以2厘米/秒的速度向C運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)B的時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),線段EF與BC平行?
(2)設(shè)1<t<2,當(dāng)t為何值時(shí),EF與半圓相切?
分析:(1)如果EF∥BC,那么根據(jù)ABCD是正方形可知BEFC是矩形,則BE=CF,據(jù)此列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即為本問(wèn)答案.
(2)如果EF與半圓相切,那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得EF=BE+CF,則EF可用含t的代數(shù)式表示,過(guò)F點(diǎn)作KF∥BC交AB于K,得∠EKF=90°,KF=2,EK=BE-CF,EF也用含t的代數(shù)式表示,根據(jù)勾股定理得EF2=EK2+FK2列出關(guān)于關(guān)于t的方程,求出方程的解,再根據(jù)1<t<2來(lái)進(jìn)行取舍.
解答:解:(1)設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),EF∥BC(如圖甲),
則BE=t,CF=4-2t,即有t=4-2t,
解得:t=
4
3
,
答:當(dāng)t=
4
3
秒時(shí),線段EF與BC平行.

(2)設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),EF與半圓相切(如圖乙),
過(guò)F點(diǎn)作KF∥BC交AB于K,
則BE=t,CF=4-2t,EK=t-(4-2t)=3t-4,
∵EF與半圓相切,
∴EF=EH+FH=EB+FC=t+(4-2t)=4-t,
又∵EF2=EK2+FK2,
∴(4-t)2=(3t-4)2+22,即2t2-4t+1=0,
解得t=
2
2
,
∵1<t<2,
∴t=
2+
2
2

∴當(dāng)t為
2+
2
2
秒時(shí),EF與半圓相切.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓的綜合,涉及了切線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用及一元二次方程的解,由于E,F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn),根據(jù)已知條件確定他們的大致位置是本題的關(guān)鍵.
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