【題目】如圖:AD與⊙O相切于點(diǎn)D,AF經(jīng)過(guò)圓心與圓交于點(diǎn)E、F,連接DE、DF,且EF=6,AD=4.

(1)證明:AD2=AEAF;

(2)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)B,使DB=AD,直徑EF上有一動(dòng)點(diǎn)C,連接CB交DF于點(diǎn)G,連接EG,設(shè)∠ACB=α,BG=x,EG=y.

①當(dāng)α=900時(shí),探索EG與BD的大小關(guān)系?并說(shuō)明理由;

②當(dāng)α=1200時(shí),求y與x的關(guān)系式,并用x的代數(shù)式表示y.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①當(dāng)α=90°時(shí),EG>BD,理由見(jiàn)解析;②當(dāng)α=120°時(shí),y=

【解析】試題分析:(1)連接OD,由AD是⊙O的切線(xiàn),根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得ODAD,即∠ADE+EDO=90°,再由EF是直徑,根據(jù)圓周角定理的推論可得∠EDF=90°,即∠EDO+ODF=90°,即可得∠ADE=ODF,再由OD=OF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODF=OFD,所以∠ADE=OFD,即可判定ADE∽△AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 ,即AD2=AEAF;(2①當(dāng)α=90°時(shí),EGBD,理由如下:取EG的中點(diǎn)H,連接CH、DH、CD,在RtEDG、RtECG中,點(diǎn)HEG的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得CH=EH=GH=DH= EG,根據(jù)圓的定義即可判定點(diǎn)C、E、D、G在以點(diǎn)H為圓心,EG為直徑的圓上,根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦可得EGCD,在RtABC中,DB=AD,再由直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得CD= DB=AD=AB,即可得結(jié)論EGBD;②當(dāng)α=120°時(shí),將ADE繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,得到BDP,連接GP,由(1AD2=AEAF可得16=AE(AE+6),解得AE=2AE=8(舍去),因ADE≌△BDP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ED=DP,AE=BP=2A=DBP,再由∠EDF=90°可得DG垂直平分EP,根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得GE=GP=y,因∠A+ABC=180°120°=60°所以∠DBP+ABC=60°,即∠GBP=60°;過(guò)點(diǎn)PPQBG,RtBPQ中,∠GBP=60°,BP=2,可求得BQ=1,PQ= ,所以GQ=BGBQ=x1,RtGPQ, PQ=GQ=x1,GP=y,由勾股定理可得PG2=GQ2+PQ2,y2=(x-1) 2+( ) 2 ,整理即可得y= .

試題解析:

1證明:連接OD

AD是⊙O的切線(xiàn)

ODAD,即∠ADE+EDO=90°

EF是直徑

∴∠EDF=90°,即∠EDO+ODF=90°

∴∠ADE=ODF

OD=OF

∴∠ODF=OFD

∴∠ADE=OFD

∴△ADE∽△AFD

,即

2①當(dāng)時(shí),EGBD

理由如下:取EG的中點(diǎn)H,連接CH、DH、CD,

RtEDG、RtECG,點(diǎn)HEG的中點(diǎn)

CH=EH=GH=DH=

∴點(diǎn)CE、DG在以點(diǎn)H為圓心,EG為直徑的圓上

EGCD

RtABC, DB=AD

CD= DB=AD=

EGBD

②當(dāng)時(shí)

ADE繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,得到BDP,連接GP

由(1得: ,解得AE=2AE=8(舍去)

∴△ADE≌△BDP

ED=DPAE=BP=2,A=DBP

∵∠EDF=90°

DG垂直平分EP

GE=GP=

∵∠A+ABC=180°120°=60°

∴∠DBP+ABC=60°,即∠GBP=60°

過(guò)點(diǎn)PPQBG

RtBPQ中,∠GBP=60°BP=2

BQ=1,PQ=

GQ=BGBQ= 1

RtGPQ, PQ=GQ= 1,GP=

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列不等式中,是一元一次不等式的是( )
A.2x-1>0
B.-1<2
C.3x-2y≤-1
D.y2+3>5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在二元一次方程x+3y=8的解中,當(dāng)x=2時(shí),對(duì)應(yīng)的y的值是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,C分別在x軸和y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),直線(xiàn)AB于點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線(xiàn)位于第一象限上的一點(diǎn),連接PA,以PA為半徑作⊙P,

(1)連接AC,當(dāng)點(diǎn)P落在AC上時(shí), 求PA的長(zhǎng);

(2)當(dāng)⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),求證:△PAD是等腰三角形;

(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

①在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中,當(dāng)⊙P與矩形OABC某一邊的交點(diǎn)恰為該邊的中點(diǎn)時(shí),求所有滿(mǎn)足要求的m值;

②如圖2,記⊙P與直線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)分別為E,F(點(diǎn)E在點(diǎn)P左下方),當(dāng)DE,DF滿(mǎn)足時(shí),求m的取值范圍.(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下面各組數(shù)中,相等的一組是(
A.﹣22與(﹣2)2
B. ?與( 3??
C.﹣|﹣2|與﹣(﹣2)
D.(﹣3)3與﹣33

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為a cm的正方形內(nèi),截去兩個(gè)以正方形的邊長(zhǎng)a cm為直徑的半圓,(結(jié)果保留π)

(1)圖中陰影部分的周長(zhǎng)為cm.
(2)圖中陰影部分的面積為cm2
(3)當(dāng)a=4時(shí),求出陰影部分的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)y=mxm-1+(m-1)是一次函數(shù),則( )

A. m≠0 B. m=2 C. m=24 D. m>2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列事件是隨機(jī)事件的為 ( )

A. 一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原來(lái)的圖形不全等

B. 元旦是晴天

C. y=a+1x+bx+cab,c是常數(shù))是二次函數(shù)

D. 在圓中任意畫(huà)一個(gè)圓內(nèi)接四邊形,對(duì)角互補(bǔ)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一艘輪船以18海里/時(shí)的速度由西向東方向航行,行至A處測(cè)得燈塔P在它的北偏東60°的方向上,繼續(xù)向東行駛20分鐘后,到達(dá)B處又測(cè)得燈塔P在它的北偏東45°方向上,求輪船與燈塔的最短距離.(精確到0.1, ≈1.73

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案