Question

如圖，在平面直角坐標系中，將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊重合于OA，直角邊不重合，已知A（6，0），AB=OC，AC與OB交于點D，連接BC．
（1）填空，如圖1，D點坐標是

 

．
（2）若將△OCA饒OA的中點P逆時針轉90°到△O₁C₁A₁的位置，則C₁的坐標為

 

．
（3）在（2）的條件下，求△OAB與△O₁C₁A₁的重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）過D作DP⊥x軸于P，易知點P是OA的中點，則OE=3，根據∠DOE的度數，即可求得點D的坐標．
（2）連接CP、C₁P，在Rt△ACO中，CP是斜邊OA上的中線，已知CP=OP=3，且∠CPO=60°；若旋轉角為60°，那么∠C₁PO=30°，結合CP即C₁P的值即可求出點C1的坐標．
（3）首先求出A₁、P、的坐標，然后分別求出直線OB、直線A₁C₁的解析式，即可得M、N、Q點的坐標，那么陰影部分的面積可由△OPN、△OMQ的面積差求得．

解答：解：（1）過D作DP⊥OA于P，則P是OA的中點；
∴OP=PA=3，即P（3，0）；
在Rt△OPD中，OP=3，∠DOP=30°，則：
PD=OP÷

3

=

3

，即D（3，

3

）．

（2）連接CP，C₁P；
由于P是Rt△ACO的中點，且∠COP是60°，
那么△CPO是等邊三角形，即CP=OP=3，∠CPO=60°；
∴∠C₁PO=30°，而根據旋轉的性質知：PC₁=CP=3，
可求得C₁（3-

3 3

2

，-

3

2

）．

（3）由（1）（2）得：A（6，0），P（3，0），A₁（3，3），B（

9

2

，

3 3

2

），C₁（3-

3 3

2

，-

3

2

）；
那么可得：直線BO：y=

3

3

x，則N（3，

3

）；
直線A₁C₁：y=

3

x+3-3

3

，可求Q（3-

3

，0），M（

9-3 3

2

，

3 3 -3

2

）；
即可求S_陰影=

1

2

×3×

3

-

1

2

×（3-

3

）×

3 3 -3

2

=

9-3 3

2

．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉變化、直角三角形的性質、函數圖象交點坐標以及圖形面積的求法，難度適中．