Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC=3CD，過點(diǎn)D作DH∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

(1)求BD·cos∠HBD的值；

(2)若∠CBD=∠A，求AB的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）BD·cos∠HBD=4；（2）AB=6.

【解析】試題分析:本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),（1）在Rt△BHD中,BH即為BD·cos∠HBD的值,根據(jù)三角形相似可得AD與DC等于BC與HC之比,已知BC=3,即可求得BH的長(zhǎng),（2）根據(jù)三角形相似建立兩個(gè)等量關(guān)系和,再根據(jù)已知邊長(zhǎng)求得AB和DH的關(guān)系為AB=3DH,代入其中一個(gè)等式求得邊長(zhǎng)DH,即可得到另一個(gè)邊長(zhǎng)AB.

解:(1)∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，

∴△ABC∽△DHC，∴ =.

∵AC=3CD，BC=3，∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.

在Rt△BHD中，cos ∠HBD=.

∴BD·cos∠HBD=BH=4.

(2)方法一:

∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD，

∴△ABC∽△BHD，

∴=.

∵△ABC∽△DHC，

∴==，∴AB=3DH，

∴=，DH=2，∴AB=6.

方法二:

∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，

∴△CDB∽△BDA，

∴=，BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.

∴BD=2CD.

∵△CDB∽△BDA，∴ =.∴=.

∴AB=6.