【題目】如圖,△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的長;
(3)當點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.
【答案】證明:(1)∵MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,F(xiàn)O=CO,
∴OE=OF;
(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=8,CF=6,
∴EF==10,
∴OC=EF=5;
(3)答:當點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形.
證明:當O為AC的中點時,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.
【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2,∠3=∠4,進而得出答案;
(2)根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,進而利用勾股定理求出EF的長,即可得出CO的長;
(3)根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=4,AD=,AE=3,求AF的長.
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【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中,點A、B、C都是格點.
(1)將△ABC向左平移6個單位長度得到得到△A1B1C1;
(2)將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2 , 請畫出△A2B2C2;
(3)若點O的坐標為(0,0),點B的坐標為(2,3);寫出△A1B1C1與△A2B2C2的對稱中心的坐標
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D在邊BC所在的直線上,過點D作DF∥AC交直線AB于點F,DE∥AB交直線AC于點E.
(1)當點D在邊BC上時,如圖①,求證:DE+DF=AC.
(2)當點D在邊BC的延長線上時,如圖②;當點D在邊BC的反向延長線上時,如圖③,請分別寫出圖②、圖③中DE,DF,AC之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明.
(3)若AC=6,DE=4,則DF的值。
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【題目】舊車交易市場有一輛原價為12萬元的轎車,已使用3年,如果第一年的折舊率為20%,后其折舊率有所變化,現(xiàn)知第三年末這輛轎車值7.776萬元.假設(shè)這輛車第二、第三年平均每年的折舊率都相同,那么這輛車第二、第三年平均每年的折舊率是多少?
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【題目】“五四”青年節(jié),市團委組織部分中學(xué)的團員去西山植樹.某校九年級(3)班團支部領(lǐng)到一批樹苗,若每人植4棵樹,還剩37棵;若每人植6棵樹,則最后一人有樹植,但不足3棵,這批樹苗共有__棵.
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【題目】已知:二次函數(shù)與軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),點A、點B的橫坐標是一元二次方程的兩個根.
(1)請直接寫出點A、B的坐標,并求出該二次函數(shù)的解析式.
(2)如圖1,在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點P,使的周長最小,若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,連接AC、BC,點Q是線段OB上一個動點(點Q不與點O、B重合). 過點Q作QD∥AC交于BC點D,設(shè)Q點坐標(m,0),當面積S最大時,求m的值.
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