如圖，現(xiàn)將一張矩形ABCD的紙片一角折疊，若能使點D落在AB邊上F處，折痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長EF交CB的延長線于點G．
（1）求證：△CEG是等邊三角形；
（2）若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC即AD∥GC，
∴∠G=∠AEF=60°，
由折疊可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°-∠AEF=120°
∴∠GEC=∠CED=∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，
∴△CEG是等邊三角形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，
∴EF=2AE，CE=2DE．設AE=x，則EF=2x，ED=EF=2x，
∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，
在Rt△CDE中，CD=
∴AB=2．
分析：（1）由折疊可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等邊三角形；
（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設AE=x，則EF=2x，由折疊的性質(zhì)得ED=EF=2x，根據(jù)AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求CD，即AB的長．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)及其運用．關鍵是由折疊求相等的線段，相等的角，把問題集中在直角三角形中使用勾股定理．
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將一張矩形紙片沿對角線剪開（如圖1），得到兩張三角形紙片△ABC、△DEF（如圖2），量得他們的斜邊長為6cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，且點A、C、E、F在同一條直線上，點C與點E重合．△ABC保持不動，OB為△ABC的中線．現(xiàn)對△DEF紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決．
（1）將圖3中的△DEF沿CA向右平移，直到兩個三角形完全重合為止．設平移距離CE為x（即CE的長），求平移過程中，△DEF與△BOC重疊部分的面積S與x的函數(shù)關系式，以及自變量的取值范圍；
（2）△DEF平移到E與O重合時（如圖4），將△DEF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中△DEF的斜邊EF交△ABC的BC邊于G，求點C、O、G構成等腰三角形時，△OCG的面積；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，△DEF的邊EF、DE分別交線段BC于點G、H（不與端點重合）．求旋轉(zhuǎn)角∠COG為多少度時，線段BH、GH、CG之間滿足GH2+BH2=CG2，請說明理由．
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如圖，現(xiàn)將一張矩形ABCD的紙片一角折疊，若能使點D落在AB邊上F處，折痕為CE，恰好∠AEF=精英家教網(wǎng)60°，延長EF交CB的延長線于點G．
（1）求證：△CEG是等邊三角形；
（2）若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．

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如圖，將一張矩形大鐵皮切割（切痕如虛線）成九塊，其中有兩塊是邊長都為a厘米的大正方形，兩塊是邊長都為b厘米的小正方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代數(shù)式表示切痕的總長為
6a+6b
6a+6b
厘米；
（2）若最中間的小矩形的面積為22厘米2，四個正方形的面積和為200厘米2，試求a+b的值；
（3）現(xiàn)要從切塊中選擇6塊，恰好焊接成一個長方體盒子，共有哪幾種方案可供選擇？按哪種方案焊接的長方體盒子的體積最大？試說明理由．（接痕的大小和鐵皮的厚度忽略不計）

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