Question

【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，，為邊的中點(diǎn)，為長(zhǎng)方形邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)以個(gè)單位/秒的速度從出發(fā)，沿著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為。

（1）求當(dāng)時(shí)，的值是________；當(dāng)時(shí)，的值是________.

（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求出與之間的關(guān)系式；

（3）當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）96，160；（2）；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)t=2時(shí)，判斷出點(diǎn)P在AB上，利用三角形的面積公式得出結(jié)論；當(dāng)t=6時(shí)，判斷出點(diǎn)P在BC上，由長(zhǎng)方形面積減去3個(gè)直角三角形的面積，即可得出結(jié)論；
（2）由長(zhǎng)方形減去3個(gè)直角三角形的面積，即可得出結(jié)論；
（3）判斷出點(diǎn)P的位置，即可得出結(jié)論．

解：（1）長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=16，BC=DA=24，AD∥BC，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
∵P以4個(gè)單位/秒的速度從A出發(fā)，沿著A→B→C→E運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)停止，
∴當(dāng)t=2時(shí)，則AP=4×2=8=AB，
即P為AB的中點(diǎn)，
∵E為CD邊的中點(diǎn)，
∴四邊形APED是矩形，
∴CE=DE=8，∠APE=∠B=90°，PE⊥AB，PE=BC=24，
∴△APE的面積為y=×24×8=96；
當(dāng)t=6時(shí)，BP=6×4-AB=24-16=8，
∴PC=BC-BP=16，
∴△APE的面積為y=24×16-×16×8-×16×8-×24×8=160；
故答案為：96；160；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，BP=4t-16，
則PC=24-（4t-16）=40-4t，
∴y=24×16-×16×（4t-16）-×（40-4t）×8-×24×8=-16t+256，
∴y與t之間的關(guān)系式為y=-16t+256；
（3）如圖3，

延長(zhǎng)EC到E'，使得E'C=EC，連接AE'，交BC于點(diǎn)P．
此時(shí)△APE周長(zhǎng)最短；
∵EC=CE'=8，
∴EE'=16，DE'=24=AD，
∴AE'=AD=24，
∵PC⊥EE'且平分EE'，
∴PE=PE'，
∴AP+PE=24，∵AD=，24，DE=8，
∴AE==8，
∴△APE的周長(zhǎng)最小值=24+8；
在Rt△ADE'中，∵AD=DE'，∠D=90°，
∴△ADE'是等腰直角三角形，
∴∠DAE'=45°，
∴∠PAB=45°．