Question

同學(xué)們，折紙中也有很大的學(xué)問呢．張老師出示了以下三個(gè)問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進(jìn)行了板演，請(qǐng)你也解答這個(gè)問題：
在一張長(zhǎng)方形ABCD紙片中，AB=25cm，AD=20cm，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請(qǐng)解決下列問題．
（1）如圖1，折痕為DE，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在CD上，則折痕DE的長(zhǎng)為

 

；
（2）如圖2，H，G分別為BC，AD的中點(diǎn)，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在HG上，折痕為DE，求重疊部分的面積；
（3）如圖3，在圖2中，把長(zhǎng)方形ABCD沿著HG對(duì)開，變成兩張長(zhǎng)方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，發(fā)現(xiàn)重疊部分是一個(gè)菱形，顯然，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)最短是40cm，求疊合后周長(zhǎng)最大的菱形的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知AD=AE=20cm，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由折疊的性質(zhì)可得到DG=

1

2

AD=

1

2

DE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠EDA=30°，由銳角三角函數(shù)的定義得到AE的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)GK=x，則HK=25-x，利用勾股定理即可求出x的值，進(jìn)而可得出菱形的周長(zhǎng)求出其面積．

解答：解：（1）∵四邊形ADFE是正方形，
∴DE=

AD2+AE2

=

202+202

=20

2

cm；

（2）由折疊的性質(zhì)可知，AD=DF，
∵GH分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴GD=

1

2

AD=

1

2

DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=

AE

AD

，
∴AE=AD•tan30°=

20 3

3

∴S_△DEF=

1

2

AE•AD=

1

2

×20×

20 3

3

=

200 3

3

；

（3）最大的菱形如圖所示：
設(shè)GK=x，則HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=

29

2

，
 則菱形的周長(zhǎng)為58cm，
此時(shí)菱形的面積S=

29

2

×10=145．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的翻折變換、菱形及矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．