【題目】(問題情境)

(1)古希臘著名數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理,又稱歐幾里德定理:在直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項,每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.射影定理是數(shù)學圖形計算的重要定理.

其符號語言是:如圖1,在RtABC中,∠ACB=90°,CDAB,垂足為D,則:(1)CD = AD·BD, (2)AC = AB·AD, (3)BC=AB·BD;請你證明定理中的結論(2)BC=AB·BD.

(結論運用)

(2)如圖2,正方形ABCD的邊長為6,點O是對角線AC、BD的交點,點ECD上,過點CCFBE,垂足為F,連接OF,

①求證:BOF∽△BED;

②若,求OF的長.

【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②

【解析】

(1)通過證明Rt△CBD∽Rt△ABC得到CB:AB=BD:BC,然后利用比例性質即可得到BC=AB·BD;

(2)根據(jù)射影定理得BC2=BOBD,BC2=BFBE,則BOBD=BFBE,即,

加上∠OBF=∠EBD,于是可根據(jù)相似三角形的判定得到△BOF∽△BED;

(3)先計算出CE 、DE、OB的長,再利用(1)中結論△BOF∽△BED得到

=即可求得OF的長.

(1)證明:如圖1,∵CD⊥AB,∠ACB=90°, ∴∠BDC=∠ACB=90°,

∠CBD=∠ABC,

∴Rt△CBD ∽Rt△ABC,∴CB:AB=BD:BC,

=ABBD;

(2)①證明:如圖2,

四邊形ABCD為正方形,

∴OC⊥BO,∠BCD=90°,

∴BC2=BOBD,

∵CF⊥BE,

∴BC2=BFBE,

∴BOBD=BFBE,

,

∠OBF=∠EBD,

∴△BOF∽△BED;

②∵Rt△BCE中,BC=6,

∴CE=,∴DE=BC-CE=4,

Rt△OBC中,OB=,

∵△BOF∽△BED,

=,即,

∴OF=.

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